2. Find the coefficient of \( x^{2} \) in expansion of \( (2+x)^{5} \)

Para encontrar el coeficiente de \( x^{2} \) en la expansión de \( (2 + x)^{5} \), utilizamos el **teorema del binomio de Newton**, que establece: \[ (a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \] Aplicando este teorema a \( (2 + x)^{5} \): \[ (2 + x)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \cdot 2^{5 - k} \cdot x^{k} \] Queremos encontrar el coeficiente de \( x^{2} \), lo que corresponde a \( k = 2 \): 1. **Calculamos el coeficiente binomial** \(\binom{5}{2}\): \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 2. **Calculamos \( 2^{5 - 2} = 2^{3} = 8 \).** 3. **Multiplicamos ambos resultados para obtener el coeficiente de \( x^{2} \)**: \[ \binom{5}{2} \cdot 2^{3} = 10 \cdot 8 = 80 \] **Por lo tanto, el coeficiente de \( x^{2} \) en la expansión de \( (2 + x)^{5} \) es 80.**