Hallar el dominio y el rango de $$ y=\frac{\sqrt{x+5}}{2 x-3} $$

Question

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Para encontrar el dominio y el rango de la función $$ y = \frac{\sqrt{x+5}}{2x-3} $$, debemos considerar las restricciones que impone tanto el numerador como el denominador.

### Dominio

1. **Condición del numerador**: La raíz cuadrada $$ \sqrt{x+5} $$ está definida cuando $$ x + 5 \geq 0 $$. Esto implica:
   $$
   x + 5 \geq 0 \implies x \geq -5
   $$

2. **Condición del denominador**: El denominador $$ 2x - 3 $$ no puede ser igual a cero, por lo que debemos resolver:
   $$
   2x - 3 \neq 0 \implies 2x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{2}
   $$

3. **Unir las condiciones**: El dominio de la función se obtiene combinando ambas condiciones. Por lo tanto, el dominio es:
   $$
   D = [-5, \infty) \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\}
   $$

### Rango

Para determinar el rango, analizamos el comportamiento de la función:

1. **Comportamiento en el dominio**:
   - Cuando $$ x $$ se aproxima a $$ -5 $$, $$ \sqrt{x+5} $$ se aproxima a $$ 0 $$ y $$ 2x - 3 $$ se aproxima a $$ -13 $$. Por lo tanto, $$ y $$ se aproxima a $$ 0 $$ desde el lado negativo.
   - Cuando $$ x $$ se aproxima a $$ \frac{3}{2} $$ desde la izquierda, $$ 2x - 3 $$ se aproxima a $$ 0 $$ y $$ y $$ tiende a $$ -\infty $$.
   - Cuando $$ x $$ se aproxima a $$ \frac{3}{2} $$ desde la derecha, $$ 2x - 3 $$ también se aproxima a $$ 0 $$ pero en este caso $$ y $$ tiende a $$ +\infty $$.
   - Cuando $$ x $$ tiende a $$ \infty $$, $$ \sqrt{x+5} $$ se comporta como $$ \sqrt{x} $$ y $$ 2x - 3 $$ se comporta como $$ 2x $$, por lo que $$ y $$ tiende a $$ \frac{1}{2} $$.

2. **Conclusión sobre el rango**:
   - La función puede tomar valores desde $$ -\infty $$ hasta $$ 0 $$ (sin incluir $$ 0 $$) y desde $$ 0 $$ hasta $$ +\infty $$ (sin incluir $$ 0 $$).
   - Por lo tanto, el rango es:
   $$
   R = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)
   $$

### Resumen

- **Dominio**: $$ D = [-5, \infty) \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\} $$
- **Rango**: $$ R = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $$
El dominio es $$ D = [-5, \infty) \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\} $$ y el rango es $$ R = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $$.

Hallar el dominio y el rango de

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