COGNOME \( \qquad \) NOME Esercizio 4 Sia \( \mathbb{C}=\{z=x+i y \mid x, y \in \mathbb{R}\} \) il campo dei numeri complessi. a) Si descriva geometricamente il sottoinsieme \( S \) di tutti i numeri complessi \( z \) tali che \( \frac{z-1}{z-2} \) è un numero reale. b) Si descriva geometricamente il sottoinsieme \( S^{\prime} \) di tutti i numeri complessi \( z \) tali che \( \frac{z-1}{z-2} \) è un numero immaginario puro. Si ricorda che un numero complesso si dice immaginario puro se è della forma \( z=i b \), con \( b \in \mathbb{R} \).

**Parte a)** Vogliamo determinare geometricamente il sottoinsieme \( S \) dei numeri complessi \( z = x + i y \) tali che \( \frac{z - 1}{z - 2} \) è un numero reale. Calcoliamo l'espressione \( \frac{z - 1}{z - 2} \): \[ \frac{z - 1}{z - 2} = \frac{(x - 1) + i y}{(x - 2) + i y} \] Perché questo quoziente sia reale, la parte immaginaria deve essere nulla. Esprimiamo il quoziente nella forma \( \frac{a + i b}{c + i d} \) e imponiamo che la parte immaginaria sia zero: \[ \frac{(x - 1) + i y}{(x - 2) + i y} = \frac{(x - 1)(x - 2) + y^2 + i [y(x - 2) - y(x - 1)]}{(x - 2)^2 + y^2} \] La parte immaginaria è: \[ y(x - 2) - y(x - 1) = y(-1) = -y \] Imponiamo che questa parte sia zero: \[ -y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0 \] Questo implica che \( z \) deve appartenere all'asse reale. Quindi, geometricamente, il sottoinsieme \( S \) è l'asse reale nel piano complesso. **Conclusione Parte a):** Il sottoinsieme \( S \) è l'asse reale del piano complesso, ovvero tutti i numeri complessi \( z = x + i y \) con \( y = 0 \). --- **Parte b)** Ora determiniamo geometricamente il sottoinsieme \( S' \) dei numeri complessi \( z = x + i y \) tali che \( \frac{z - 1}{z - 2} \) è un numero immaginario puro, cioè della forma \( i b \) con \( b \in \mathbb{R} \). Poniamo: \[ \frac{z - 1}{z - 2} = i b \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \( z - 2 \): \[ z - 1 = i b (z - 2) \] Espandiamo: \[ (x - 1) + i y = i b (x + i y) - 2 i b \] Separiamo in parti reale e immaginaria: \[ \begin{cases} x - 1 = -b y \\ y = b x - 2 b \end{cases} \] Dalla prima equazione, esprimiamo \( b \): \[ b = \frac{1 - x}{y} \] Sostituiamo nella seconda equazione: \[ y = \left( \frac{1 - x}{y} \right) x - 2 \left( \frac{1 - x}{y} \right) \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \( y \): \[ y^2 = (1 - x) x - 2 (1 - x) \] Riorganizziamo: \[ y^2 = x - x^2 - 2 + 2x \\ y^2 = -x^2 + 3x - 2 \\ x^2 - 3x + y^2 + 2 = 0 \] Completiamo il quadrato per \( x \): \[ (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + y^2 = \frac{1}{4} \] \[ \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + y^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \] Questa è l'equazione di una circonferenza con centro in \( \left( \frac{3}{2},\ 0 \right) \) e raggio \( \frac{1}{2} \). **Conclusione Parte b):** Il sottoinsieme \( S' \) è una circonferenza di raggio \( \frac{1}{2} \) centrata nel punto \( \left( \frac{3}{2},\ 0 \right) \) nel piano complesso.