uelva la ecuación diferencial \( x \frac{d y}{d x}-5 y=x^{2} \). Seleccione la solución general:

Para resolver la ecuación diferencial \( x \frac{d y}{d x}-5 y=x^{2} \), primero podemos reorganizar la ecuación como: \[ \frac{d y}{d x} - \frac{5}{x} y = x. \] Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden, y podemos aplicar el método de factores integrantes. El factor integrante \( \mu(x) \) se calcula como: \[ \mu(x) = e^{\int -\frac{5}{x} \, dx} = e^{-5 \ln|x|} = |x|^{-5}. \] Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante: \[ |x|^{-5} \frac{dy}{dx} - \frac{5}{x} |x|^{-5} y = |x|^{-5} x. \] Esto simplifica a: \[ \frac{d}{dx} (|x|^{-5} y) = |x|^{-4}. \] Integrando ambos lados obtenemos: \[ |x|^{-5} y = \int |x|^{-4} \, dx = -\frac{1}{3} |x|^{-3} + C, \] donde \( C \) es una constante de integración. Finalmente, multiplicamos por \( |x|^5 \) para despejar \( y \): \[ y = -\frac{1}{3} |x|^2 + C |x|^5. \] La solución general de la ecuación diferencial es: \[ y = -\frac{1}{3} x^2 + C x^5, \] donde \( C \) es una constante arbitraria.