Bsercizio 4. Sono date le rette \[ r:\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=z\end{array} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=y \\ z=1\end{array}\right.\right. \] (2pt) Determinare la posizione reciproca tra \( r \) ed \( s \). (2pt) Calcolare la distanza tra \( r \) ed \( s \). (iii) (2pt) Trovare, se esiste, una sfera tangente sia ad \( r \) che ad \( s \).

Per determinare la posizione reciproca tra le rette \( r \) e \( s \), iniziamo scrivendo le equazioni dei due segmenti. La retta \( r \) passa per il punto \( (-1, y, z) = (-1, t, t) \), dove \( t \) è un parametro. La retta \( s \) passa per il punto \( (y, y, 1) = (u, u, 1) \), dove \( u \) è un altro parametro. Le due rette sono parallele nel piano \( x=-1 \) e \( z = 1 \) (ossia \( t \) e \( u \) sono variabili sprint in y), ma non si intersecano. Per calcolare la distanza tra \( r \) ed \( s \), possiamo considerare i punti \( P(-1, t, t) \) su \( r \) e \( Q(0, 0, 1) \) su \( s \). La distanza tra un punto sulla retta \( r \) e un punto sulla retta \( s \) è data dalla formula della distanza euclidea. Sostituendo, otteniamo: \[ d = \sqrt{((-1-0)^2 + (t-0)^2 + (t-1)^2)} . \] Minimalizzando rispetto a \( t \), raggiungiamo una distanza di \( \sqrt{2} \). Per la sfera tangente sia a \( r \) che a \( s \), esiste una possibile sfera di centro che giace lungo l'asse \( x \) di coordinate \( (-1, u, 0) \) in modo da essere tangente alle proiezioni delle rette. Le equazioni impongono che la distanza minima dalla sfera sia uguale al raggio \( r \). In questo caso, il centro può essere \( C(-1, 0, \frac{1}{2}) \) con raggio \( r = \frac{\sqrt{2}}{2} \), in quanto tangente.