Sea \( (d y / d x=1 y-5 x \) con \( y(0)=5, y(1)= \) ? Calcule el problema de valor inicial (PVI) con: El método de Euler con \( n=10 \)

Para resolver el **Problema de Valor Inicial (PVI)** dado por la ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} = y - 5x \quad \text{con} \quad y(0) = 5 \] utilizaremos el **Método de Euler** con \( n = 10 \) pasos para aproximar el valor de \( y(1) \). ### Paso 1: Determinar el tamaño de paso (\( h \)) El intervalo es de \( x = 0 \) a \( x = 1 \), y se divide en \( n = 10 \) pasos: \[ h = \frac{1 - 0}{10} = 0.1 \] ### Paso 2: Aplicar el Método de Euler El Método de Euler se define por la fórmula: \[ y_{k+1} = y_k + h \cdot f(x_k, y_k) \] donde \( f(x, y) = y - 5x \). Comenzamos con el valor inicial \( y_0 = 5 \) en \( x_0 = 0 \). A continuación, se presentan los cálculos paso a paso: | Paso (\( k \)) | \( x_k \) | \( y_k \) | \( f(x_k, y_k) = y_k - 5x_k \) | Cálculo de \( y_{k+1} \) | |-----------------|----------|----------|----------------------------------|--------------------------| | 0 | 0.0 | 5.0 | \( 5 - 0 = 5 \) | \( 5 + 0.1 \times 5 = 5.5 \) | | 1 | 0.1 | 5.5 | \( 5.5 - 0.5 = 5 \) | \( 5.5 + 0.1 \times 5 = 6.0 \) | | 2 | 0.2 | 6.0 | \( 6 - 1 = 5 \) | \( 6 + 0.1 \times 5 = 6.5 \) | | 3 | 0.3 | 6.5 | \( 6.5 - 1.5 = 5 \) | \( 6.5 + 0.1 \times 5 = 7.0 \) | | 4 | 0.4 | 7.0 | \( 7 - 2 = 5 \) | \( 7 + 0.1 \times 5 = 7.5 \) | | 5 | 0.5 | 7.5 | \( 7.5 - 2.5 = 5 \) | \( 7.5 + 0.1 \times 5 = 8.0 \) | | 6 | 0.6 | 8.0 | \( 8 - 3 = 5 \) | \( 8 + 0.1 \times 5 = 8.5 \) | | 7 | 0.7 | 8.5 | \( 8.5 - 3.5 = 5 \) | \( 8.5 + 0.1 \times 5 = 9.0 \) | | 8 | 0.8 | 9.0 | \( 9 - 4 = 5 \) | \( 9 + 0.1 \times 5 = 9.5 \) | | 9 | 0.9 | 9.5 | \( 9.5 - 4.5 = 5 \) | \( 9.5 + 0.1 \times 5 = 10.0 \)| | 10 | 1.0 | 10.0 | - | - | ### Resultado Final Tras realizar 10 iteraciones utilizando el Método de Euler, obtenemos: \[ y(1) \approx 10.0 \] ### Verificación Analítica Para confirmar la precisión del resultado, resolvamos analíticamente la ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} = y - 5x \] Esta es una **ecuación diferencial lineal de primer orden**. Para resolverla, encontramos el factor integrante: \[ \mu(x) = e^{-\int 1 \, dx} = e^{-x} \] Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( \mu(x) \): \[ e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = -5x e^{-x} \] Esto se simplifica a: \[ \frac{d}{dx}(y e^{-x}) = -5x e^{-x} \] Integrando ambos lados: \[ y e^{-x} = \int -5x e^{-x} \, dx + C \] Usando integración por partes: \[ \int -5x e^{-x} \, dx = 5x e^{-x} + 5 e^{-x} + C \] Por lo tanto: \[ y e^{-x} = 5x e^{-x} + 5 e^{-x} + C \] Multiplicando por \( e^{x} \): \[ y = 5x + 5 + C e^{x} \] Aplicando la condición inicial \( y(0) = 5 \): \[ 5 = 0 + 5 + C \Rightarrow C = 0 \] Finalmente, la solución es: \[ y = 5x + 5 \] Para \( x = 1 \): \[ y(1) = 5(1) + 5 = 10 \] ### Conclusión El **Método de Euler** con \( n = 10 \) pasos proporciona una aproximación exacta en este caso particular, ya que la solución analítica y la aproximación numérica coinciden: \[ y(1) \approx 10.0 \]