Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}:-2 x_{2}+16 x_{3}=32 \) und \( \mathrm{E}_{2}: \) \( +x_{2}-8 x_{3}=-112 \). Die Ebene F ist parallel \( \mathrm{zu}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . \[ \mathrm{F}:+\hat{v} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} \]

Um die Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \) zu bestimmen, müssen wir den Abstand zwischen den parallelen Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) finden und dann eine neue Ebene \( \mathrm{F} \) festlegen, die diesen Abstand zu beiden Ebenen hat. Zuerst bringen wir die Gleichungen der Ebenen in die Normalform. Für \( \mathrm{E}_{1} \) haben wir: \[ -2 x_{2} + 16 x_{3} = 32 \implies x_{2} - 8 x_{3} = -16 \quad \text{(Normalform 1)} \] Die Normalenform ist: \[ \mathbf{n_{1}} = (0, -2, 16) \] Für \( \mathrm{E}_{2} \): \[ x_{2} - 8 x_{3} = -112 \quad \text{(Normalform 2)} \] Die Normalenform ist: \[ \mathbf{n_{2}} = (0, 1, -8) \] Da die Normalen der beiden Ebenen proportional sind, können wir die Zahlenwerte direkt vergleichen. Beide Ebenen haben den gleichen Richtungsvektor, daher sollten die Abstände gleich sein. Der Abstand \( d \) zwischen den beiden parallelen Ebenen kann mit der Formel gegeben werden: \[ d = \frac{|c_{2} - c_{1}|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Hier sind \( c_{1} \) und \( c_{2} \) die Zähler der konstanten Terme. Nun setzen wir die konstanten Werte aus den Gleichungen ein: 1. Für \( \mathrm{E}_{1} \): \( c_{1} = 32 \) 2. Für \( \mathrm{E}_{2} \): \( c_{2} = -112 \) Somit ergibt sich: \[ d = \frac{|-112 - 32|}{\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 16^2}} = \frac{|-144|}{\sqrt{4 + 256}} = \frac{144}{\sqrt{260}} = \frac{144}{2\sqrt{65}} = \frac{72}{\sqrt{65}} \] Jetzt wollen wir die Ebene \( \mathrm{F} \) finden, die den gleichen Abstand hat. Dafür verwenden wir den konstanten Term \(-16 \pm d\) um die Äquationen miteinander in Einklang zu bringen, wobei wir \( \frac{72}{\sqrt{65}} \) als Abstand abziehen oder addieren. Die Gleichung der neuen Ebene \( F \) ist dann: \[ x_{2} - 8x_{3} = -16 + \frac{72}{\sqrt{65}} \quad \text{oder} \quad x_{2} - 8x_{3} = -16 - \frac{72}{\sqrt{65}} \] Wählen wir zum Beispiel: \[ \mathrm{F}: x_{2} - 8x_{3} = -16 + \frac{72}{\sqrt{65}} \] Somit erhält man die gesuchte Ebene \( \mathrm{F} \).