Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $$ \mathrm{E}_{1}:-2 x_{2}+16 x_{3}=32 $$ und $$ \mathrm{E}_{2}: $$ $$ +x_{2}-8 x_{3}=-112 $$. Die Ebene F ist parallel $$ \mathrm{zu}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . $$ \mathrm{F}:+\hat{v} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} $$

Question

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Um die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ ist und von beiden den gleichen Abstand hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Normale Vektoren bestimmen:**
   - Für $$ \mathrm{E}_{1} $$:
     $$
     \mathrm{E}_{1}: -2x_{2} + 16x_{3} = 32
     $$
     Normalenvektor $$ \mathbf{n}_{1} = (0, -2, 16) $$
     
   - Für $$ \mathrm{E}_{2} $$:
     $$
     \mathrm{E}_{2}: x_{2} - 8x_{3} = -112
     $$
     Normalenvektor $$ \mathbf{n}_{2} = (0, 1, -8) $$
     
   Da $$ \mathbf{n}_{2} = -\frac{1}{2} \mathbf{n}_{1} $$, sind die Ebenen parallel.

2. **Gleichungen in die gleiche Normalenform bringen:**
   Um die Abstandberechnung zu vereinfachen, bringen wir beide Ebenen auf dieselbe Normalenform:
   $$
   \mathrm{E}_{1}: -2x_{2} + 16x_{3} = 32
   $$
   $$
   \mathrm{E}_{2}: -2x_{2} + 16x_{3} = 224 \quad \text{(multipliziert mit -2)}
   $$

3. **Abstand zwischen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ berechnen:**
   Der Abstand $$ d $$ zwischen zwei parallelen Ebenen $$ ax + by + cz = d_{1} $$ und $$ ax + by + cz = d_{2} $$ ist gegeben durch:
   $$
   d = \frac{|d_{2} - d_{1}|}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{|224 - 32|}{\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 16^2}} = \frac{192}{\sqrt{260}} = \frac{96}{\sqrt{65}}
   $$
   
   Der halbe Abstand beträgt also $$ \frac{96}{2\sqrt{65}} = \frac{48}{\sqrt{65}} $$.

4. **Ebene $$ \mathrm{F} $$ bestimmen:**
   Da $$ \mathrm{F} $$ genauso weit von $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ entfernt sein soll, liegt $$ \mathrm{F} $$ genau in der Mitte zwischen ihnen. Daher ist die Gleichung von $$ \mathrm{F} $$:
   $$
   -2x_{2} + 16x_{3} = 128
   $$
   Alternativ kann dies in der ursprünglichen Form von $$ \mathrm{E}_{2} $$ geschrieben werden:
   $$
   x_{2} - 8x_{3} = -64
   $$

**Endgültige Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:**
$$
\boxed{x_{2}\,-\,8\,x_{3}\;=\;-64}
$$
Die Ebene $$ \mathrm{F} $$ hat die Gleichung $$ x_{2} - 8x_{3} = -64 $$.

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und
. Die Ebene F ist parallel und und hat von beiden Ebenen den gleichen
Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .

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Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und . Die Ebene F ist parallel und und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .