Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}: 2 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3}=-20 \) und \( \mathrm{E}_{2} \) : \( -x_{1}+x_{2}+5 x_{3}=50 \). Die Ebene F ist parallel zu \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) und hat von beiden Ebenen der gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . \( \mathrm{F}:+\hat{\mathrm{o}} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{\mathrm{o}} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{*} \)

Zuerst bestimmen wir die normalen Vektoren der Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \). Der normale Vektor von \( \mathrm{E}_{1} \) ist \( \vec{n}_{1} = (2, -2, -10) \) und von \( \mathrm{E}_{2} \) ist \( \vec{n}_{2} = (-1, 1, 5) \). Da die Ebenen parallel sind, sind ihre normalen Vektoren proportional zueinander. Nun berechnen wir den Abstand zwischen den beiden Ebenen. Dies geschieht in der Regel mithilfe der Gleichungen, wobei wir die Abstände von einem Punkt auf der einen Ebene zur anderen Ebene bestimmen. Ein allgemeiner Punkt auf \( \mathrm{E}_{1} \) ist beispielsweise \( (0, 0, 2) \). Wir setzen diesen in die Gleichung von \( \mathrm{E}_{2} \) ein und finden den Abstand. Daraus können wir die Gleichung für die Ebene \( \mathrm{F} \) aufstellen, die dazwischen liegt und parallel ist. Die endgültige Gleichung wird in der Form \( \mathrm{F} : A x_1 + B x_2 + C x_3 = D \) angegeben. Um die Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \) zu bestimmen, müssen wir die Normalenform verwenden und den Abstand zu beiden parallelen Ebenen berücksichtigen. So könnte die Gleichung der gesuchten Ebene \( \mathrm{F} : 2x_{1} - 2x_{2} - 10x_{3} = -5 \) lauten.