10. $$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+6 x $$; considere que $$ F(-1)=3 $$

Question

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Para encontrar a primitiva $$ F(x) $$ da função $$ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6x $$ tal que $$ F(-1) = 3 $$, siga os passos abaixo:

1. **Calculando a Integral Indefinida de $$ f(x) $$:**

$$
   F(x) = \int f(x) \, dx = \int (x^{3} - 3x^{2} + 6x) \, dx
   $$

Integramos termo a termo:

$$
   \begin{align*}
   \int x^{3} \, dx &= \frac{1}{4}x^{4} \
   \int (-3x^{2}) \, dx &= -x^{3} \
   \int 6x \, dx &= 3x^{2}
   \end{align*}
   $$

Portanto,

$$
   F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - x^{3} + 3x^{2} + C
   $$

Onde $$ C $$ é a constante de integração.

2. **Determinando a Constante $$ C $$ Usando a Condição Inicial $$ F(-1) = 3 $$:**

Substituímos $$ x = -1 $$ na expressão de $$ F(x) $$:

$$
   3 = \frac{1}{4}(-1)^{4} - (-1)^{3} + 3(-1)^{2} + C
   $$

Calculando cada termo:

$$
   \begin{align*}
   \frac{1}{4}(-1)^{4} &= \frac{1}{4} \
   -(-1)^{3} &= 1 \
   3(-1)^{2} &= 3 \
   \end{align*}
   $$

Somando os termos:

$$
   3 = \frac{1}{4} + 1 + 3 + C \quad \Rightarrow \quad 3 = \frac{17}{4} + C
   $$

Isolando $$ C $$:

$$
   C = 3 - \frac{17}{4} = -\frac{5}{4}
   $$

3. **Expressão Final de $$ F(x) $$:**

Substituindo $$ C $$ na expressão de $$ F(x) $$:

$$
   F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - x^{3} + 3x^{2} - \frac{5}{4}
   $$

**Resposta Final:**

$$
F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - x^{3} + 3x^{2} - \frac{5}{4}
$$
$$ F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - x^{3} + 3x^{2} - \frac{5}{4} $$

10. \( f(x)=x^{3}-3 x^{2}+6 x \); considere que \( F(-1)=3 \)