Nello spravio wettoriale \( V_{3} \) dei vettori geometrici dello spaxio, sia \( B=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} \) una fissata base ortomormale e siano dati i vettori \[ \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \quad \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} . \] Allora: A. \# utetori \( \vec{u}, \vec{v}, 3 \vec{\pi} \wedge \vec{v} \) costituiscono una base di \( V_{3} \) B. i vettori \( \vec{u} \in \vec{v} \) individuano un angolo acuto C. \( \vec{u} \cdot \vec{v}-\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|=1+2 \sqrt{2} \) 1) i vectori \( \overrightarrow{\boldsymbol{u}} \mathrm{e} \boldsymbol{\vec { * }} \) individuano un parallelogramma di area \( \sqrt{2} \)

Vamos a analizar cada una de las afirmaciones dadas con los vectores \(\vec{u} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}\) y \(\vec{v} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}\). ### Cálculos Previos 1. **Producto Scalare (\(\vec{u} \cdot \vec{v}\))**: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (-1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1 \] 2. **Producto Vectorial (\(\vec{u} \times \vec{v}\))**: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = -2\vec{j} + 2\vec{k} \] \[ \|\vec{u} \times \vec{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 3. **Longitud de los Vectores**: \[ \|\vec{u}\| = \|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} \] ### Análisis de las Afirmaciones **A.** *Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(3\pi \wedge \vec{v}\) constituyen una base de \(V_3\)*. - **Interpretación**: Asumiendo que \(3\pi \wedge \vec{v}\) se refiere a una combinación lineal de \(\vec{u} \times \vec{v}\), estos tres vectores son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de \(V_3\). - **Conclusión**: **Verdadero**. **B.** *Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) determinan un ángulo agudo*. - **Cálculo del Coseno del Ángulo**: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{-1}{3} \Rightarrow \theta > 90^\circ \] - **Conclusión**: **Falso**. **C.** *\(\vec{u} \cdot \vec{v} - \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = 1 + 2\sqrt{2}\)*. - **Cálculo**: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} - \|\vec{u} \times \vec{v}\| = -1 - 2\sqrt{2} \neq 1 + 2\sqrt{2} \] - **Conclusión**: **Falso**. **1.** *Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) determinan un paralelogramo de área \(\sqrt{2}\)*. - **Área del Paralelogramo**: \[ \text{Área} = \|\vec{u} \times \vec{v}\| = 2\sqrt{2} \neq \sqrt{2} \] - **Conclusión**: **Falso**. ### Resumen - **A. Verdadera** - **B. Falsa** - **C. Falsa** - **1. Falsa**