$$ \frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-0.5)^{2}}{4}=1 $$

Question

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La ecuación proporcionada:

$$
\frac{(x-1)^{2}}{2} + \frac{(y-0.5)^{2}}{4} = 1
$$

representa una **elipse** en el plano cartesiano. A continuación, se detallan sus características principales:

1. **Centro de la elipse**:
   - La elipse está centrada en el punto $$ (h, k) $$, donde $$ h = 1 $$ y $$ k = 0.5 $$. Por lo tanto, el centro es $$ (1, 0.5) $$.

2. **Ejes de la elipse**:
   - **Eje mayor y eje menor**: 
     - El denominador bajo el término $$ (y - 0.5)^2 $$ es mayor ($$ 4 $$) que el denominador bajo el término $$ (x - 1)^2 $$ ($$ 2 $$). Esto indica que el eje mayor está alineado con el eje y.
   - **Longitud de los semi-ejes**:
     - **Semi-eje mayor (a)**: $$ a = \sqrt{4} = 2 $$
     - **Semi-eje menor (b)**: $$ b = \sqrt{2} \approx 1.414 $$

3. **Forma y orientación**:
   - Dado que el denominador bajo $$ (y - 0.5)^2 $$ es mayor, la elipse está **orientada verticalmente**.

4. **Representación gráfica**:
   - La elipse se extiende 2 unidades hacia arriba y hacia abajo desde el centro en la dirección y.
   - Se extiende aproximadamente 1.414 unidades hacia la derecha e izquierda desde el centro en la dirección x.

5. **Ecuación estándar de una elipse**:
   - La ecuación general de una elipse centrada en $$ (h, k) $$ con eje mayor vertical es:
     $$
     \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} = 1
     $$
   - Comparando con la ecuación dada:
     $$
     \frac{(x-1)^{2}}{2} + \frac{(y-0.5)^{2}}{4} = 1
     $$
     Podemos identificar $$ h = 1 $$, $$ k = 0.5 $$, $$ a = 2 $$ y $$ b = \sqrt{2} $$.

**Conclusión**: La ecuación dada describe una elipse centrada en el punto $$ (1, 0.5) $$, con un semi-eje mayor de longitud 2 en la dirección y y un semi-eje menor de aproximadamente 1.414 en la dirección x. La elipse está orientada verticalmente en el plano cartesiano.
La ecuación $$ \frac{(x-1)^{2}}{2} + \frac{(y-0.5)^{2}}{4} = 1 $$ representa una elipse centrada en $$ (1, 0.5) $$. Tiene un eje mayor de 2 unidades verticalmente y un eje menor de aproximadamente 1.414 unidades horizontalmente.

\( \frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-0.5)^{2}}{4}=1 \)

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