\[ \{x+a y=5 b x+2 y=d \] En donde \( a=2.000 \pm 0.004 ; b=\frac{1}{a} y d=b+a \) ¿Con qué exactitud podemos determinar el producto \( x y \) ?

Para determinar la exactitud del producto \( xy \) dado el sistema de ecuaciones y las incertidumbres proporcionadas, seguimos estos pasos: ### 1. **Sistema de Ecuaciones:** \[ \begin{cases} x + a y = 5 \\ b x + 2 y = d \end{cases} \] donde: \[ a = 2.000 \pm 0.004, \quad b = \frac{1}{a}, \quad d = b + a \] ### 2. **Resolución del Sistema:** Primero, expresamos \( x \) e \( y \) en términos de \( a \): - **De la primera ecuación:** \[ x = 5 - a y \] - **Sustituyendo en la segunda ecuación:** \[ \frac{1}{a}(5 - a y) + 2 y = a + \frac{1}{a} \] \[ \frac{5}{a} - y + 2 y = a + \frac{1}{a} \] \[ y = a - \frac{4}{a} \] - **Resolviendo para \( x \):** \[ x = 5 - a \left(a - \frac{4}{a}\right) = 9 - a^2 \] ### 3. **Producto \( xy \):** \[ xy = (9 - a^2)\left(a - \frac{4}{a}\right) = 13a - a^3 - \frac{36}{a} \] ### 4. **Propagación de Incertidumbres:** Calculamos la derivada de \( xy \) respecto a \( a \) para determinar la incertidumbre en el producto: \[ \frac{d(xy)}{da} = 13 - 3a^2 + \frac{36}{a^2} \] Evaluando en \( a = 2.000 \): \[ \frac{d(xy)}{da}\Bigg|_{a=2} = 13 - 3(4) + \frac{36}{4} = 10 \] La incertidumbre en \( xy \) es: \[ \delta(xy) = \left| \frac{d(xy)}{da} \right| \delta a = 10 \times 0.004 = 0.04 \] ### 5. **Confirmación Directa:** Al evaluar \( xy \) en \( a = 2 \): \[ xy = 0 \] La propagación de incertidumbres confirma que: \[ \delta(xy) = \pm 0.04 \] ### **Conclusión:** El producto \( xy \) se determina con una exactitud de **±0.04 unidades**. **Respuesta Final:** El producto \( xy \) se determina con una exactitud de ± 0,04 unidades.