Si en un triángulo rectángulo el lado adyacente a un ángulo B mide 8 cm y el seno de B es \( \frac{3}{5} \), encuentra la longitud de la hipotenusa.

Para encontrar la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, podemos utilizar la relación entre seno, cateto opuesto y hipotenusa. El seno de un ángulo se define como el cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Dado que el seno de B es \( \frac{3}{5} \) y sabemos que el cateto adyacente mide 8 cm, podemos usarlos para encontrar la hipotenusa. Sea \( h \) la hipotenusa. Por la definición del seno: \[ \sin(B) = \frac{\text{cateto opuesto}}{h} \implies \frac{3}{5} = \frac{cateto opuesto}{h} \] Además, podemos encontrar el cateto opuesto usando el teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo: \[ \text{cateto opuesto} = \sin(B) \cdot h = \frac{3}{5} \cdot h \] Y sabemos que también está relacionado con el cateto adyacente mediante el teorema de Pitágoras: \[ h^2 = (cateto adyacente)^2 + (cateto opuesto)^2 \implies h^2 = 8^2 + \left(\frac{3}{5}h\right)^2 \] Resolviendo: \[ h^2 = 64 + \frac{9}{25}h^2 \] Multiplicamos todo por 25 para deshacernos de la fracción: \[ 25h^2 = 1600 + 9h^2 \] Restamos \( 9h^2 \): \[ 16h^2 = 1600 \] Dividimos ambos lados entre 16: \[ h^2 = 100 \implies h = 10 \] Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es \( 10 \, cm \).