Trace la grafica de la siy funcion dcterminando sus intervalos en los cuales es creciente y decreciente $$ f(x)=x^{2}+6 x-1 $$

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Para analizar y graficar la función cuadrática $$ f(x) = x^{2} + 6x - 1 $$, seguiremos los siguientes pasos: ### 1. **Identificar la Forma de la Función** La función es una parábola que abre hacia arriba, ya que el coeficiente de $$ x^{2} $$ es positivo ($$ a = 1 $$). ### 2. **Encontrar el Vértice de la Parábola** El vértice de una parábola de la forma $$ f(x) = ax^{2} + bx + c $$ se encuentra en: $$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 1} = -3 $$ Para encontrar la coordenada $$ y $$ del vértice: $$ f(-3) = (-3)^{2} + 6(-3) - 1 = 9 - 18 - 1 = -10 $$ **Vértice:** $$(-3, -10)$$ ### 3. **Determinar los Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento** Para una parábola que abre hacia arriba: - **Decrece:** A la izquierda del vértice. - **Crece:** A la derecha del vértice. Por lo tanto: - **Intervalo Decreciente:** $$ (-\infty, -3) $$ - **Intervalo Creciente:** $$ (-3, +\infty) $$ ### 4. **Calcular las Intersecciones con los Ejes** - **Intersección con el Eje Y:** $$ f(0) = 0^{2} + 6(0) - 1 = -1 $$ Punto: $$(0, -1)$$ - **Intersección con el Eje X:** Resolvemos $$ f(x) = 0 $$: $$ x^{2} + 6x - 1 = 0 $$ Utilizando la fórmula cuadrática: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10} $$ Aproximadamente: $$ x \approx -3 \pm 3.162 $$ Puntos de intersección: $$(-3 + \sqrt{10}, 0)$$ y $$(-3 - \sqrt{10}, 0)$$ ### 5. **Esbozo de la Gráfica** Aunque no puedo dibujar la gráfica aquí, a continuación se describe cómo se vería: - **Forma:** Parábola con apertura hacia arriba. - **Vértice:** En $$(-3, -10)$$. - **Intersecciones:** - Eje Y en $$(0, -1)$$. - Eje X en $$(-3 + \sqrt{10}, 0)$$ y $$(-3 - \sqrt{10}, 0)$$. - **Comportamiento:** - Decrece en el intervalo $$ (-\infty, -3) $$. - Crece en el intervalo $$ (-3, +\infty) $$. ### 6. **Resumen de Intervalos** - **Crece:** Para $$ x > -3 $$. - **Decrece:** Para $$ x < -3 $$. ### 7. **Representación Tabular de Algunos Puntos Clave** | $$ x $$ | $$ f(x) $$ | |---------|------------| | -5 | $$ (-5)^2 + 6(-5) - 1 = 25 - 30 - 1 = -6 $$ | | -4 | $$ (-4)^2 + 6(-4) - 1 = 16 - 24 - 1 = -9 $$ | | -3 | $$ (-3)^2 + 6(-3) - 1 = 9 - 18 - 1 = -10 $$ | | -2 | $$ (-2)^2 + 6(-2) - 1 = 4 - 12 - 1 = -9 $$ | | -1 | $$ (-1)^2 + 6(-1) - 1 = 1 - 6 - 1 = -6 $$ | | 0 | $$ 0^2 + 6(0) - 1 = -1 $$ | | 1 | $$ 1^2 + 6(1) - 1 = 1 + 6 - 1 = 6 $$ | | 2 | $$ 2^2 + 6(2) - 1 = 4 + 12 - 1 = 15 $$ | Estos puntos ayudan a visualizar la forma de la parábola al graficarla. ¡Espero que esta explicación te haya sido útil para comprender y graficar la función $$ f(x) = x^{2} + 6x - 1 $$! Para la función $$ f(x) = x^{2} + 6x - 1 $$: - **Vértice:** $$(-3, -10)$$ - **Intervalo Decreciente:** $$ x < -3 $$ - **Intervalo Creciente:** $$ x > -3 $$ - **Intersección con el Eje Y:** $$(0, -1)$$ - **Intersecciones con el Eje X:** $$(-3 + \sqrt{10}, 0)$$ y $$(-3 - \sqrt{10}, 0)$$ La parábola abre hacia arriba, decrece a la izquierda del vértice y crece a la derecha.

Trace la grafica de la siy funcion dcterminando sus intervalos en los cuales es creciente y decreciente \( f(x)=x^{2}+6 x-1 \)

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