Describe how to derive the quadratic formula from a quadratic equation in standard form. \( \square \)

Para derivar la **fórmula cuadrática** a partir de una ecuación cuadrática en su forma estándar, sigue estos pasos: ### 1. **Forma estándar de una ecuación cuadrática** La forma estándar de una ecuación cuadrática es: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] donde \( a \), \( b \) y \( c \) son coeficientes, y \( a \neq 0 \). ### 2. **Dividir todos los términos por \( a \)** Para simplificar, divide todos los términos de la ecuación entre \( a \): \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \] Reorganizando: \[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \] ### 3. **Completar el cuadrado** Para completar el cuadrado, agrega y resta \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) al lado izquierdo de la ecuación: \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \] ### 4. **Reescribir el lado izquierdo como un cuadrado perfecto** El lado izquierdo ahora es un trinomio cuadrado perfecto: \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \] Simplificando el lado derecho: \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \] ### 5. **Aplicar la raíz cuadrada a ambos lados** \[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] ### 6. **Despejar \( x \)** Finalmente, aisla \( x \) restando \(\frac{b}{2a}\) de ambos lados: \[ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] ### 7. **Combinar los términos** Agrupando los términos sobre un denominador común: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Esta es la **fórmula cuadrática**, que proporciona las soluciones de cualquier ecuación cuadrática en su forma estándar. ### **Resumen de la Fórmula Cuadrática** \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Esta fórmula permite encontrar las raíces (soluciones) de la ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \) utilizando simplemente los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \).