5 Troba lequació de la recta \( s \) que passa per l'origen de coordenades ique forma un angle \( \alpha=60^{\circ} \) amb la recta \( r: x-y+2-0 \).

Para encontrar las ecuaciones de la recta \( s \) que pasa por el origen y forma un ángulo de \( 60^{\circ} \) con la recta \( r: x - y + 2 = 0 \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Determinar la pendiente de la recta \( r \):** Reescribimos la ecuación de \( r \) en forma de pendiente: \[ x - y + 2 = 0 \implies y = x + 2 \] Por lo tanto, la pendiente \( m_r = 1 \). 2. **Relación entre las pendientes de dos rectas que forman un ángulo \( \theta \):** Si dos rectas tienen pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \), el ángulo \( \theta \) entre ellas está dado por: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \] En este caso, \( \theta = 60^{\circ} \), y sabemos que \( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \). 3. **Aplicar la fórmula para encontrar las pendientes \( m_s \) de las rectas \( s \):** \[ \sqrt{3} = \left| \frac{m_s - 1}{1 + m_s} \right| \] Esto nos da dos casos: - **Caso 1:** \[ \frac{m_s - 1}{1 + m_s} = \sqrt{3} \\ m_s - 1 = \sqrt{3}(1 + m_s) \\ m_s (1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} \\ m_s = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = -2 - \sqrt{3} \] - **Caso 2:** \[ \frac{m_s - 1}{1 + m_s} = -\sqrt{3} \\ m_s - 1 = -\sqrt{3}(1 + m_s) \\ m_s (1 + \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} \\ m_s = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = -2 + \sqrt{3} \] 4. **Escribir las ecuaciones de las rectas \( s \):** Dado que las rectas pasan por el origen, sus ecuaciones son: \[ y = (-2 - \sqrt{3})x \quad \text{y} \quad y = (-2 + \sqrt{3})x \] **Por lo tanto, las ecuaciones de la recta \( s \) son:** \[ y = (-2 - \sqrt{3})x \quad \text{y} \quad y = (-2 + \sqrt{3})x \]