\begin{tabular}{l} Data la retta di equazione $$ 3 x-4 y+5-2 k=0 $$, determina $$ k $$ in modo che: \ $$ \begin{array}{ll} ext { a. passi per l'origine degli assi; } & ext { c. sia parallela alla retta } y=\frac{1-3 x}{4} ; \ ext { b. intersechi l'asse delle ascisse in }-3 ; & ext { d. sia perpendicolare alla retta di equazione } 4 x+3 y+6=0\end{array} $$ \ \hline (a) $$ \frac{5}{2} ; $$ b) $$ -2 ; $$ c) $$
exists k \in \mathbb{R} $$, d) $$ \left.\vee k \in \mathbb{R} ight] $$\end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} Data la retta di equazione $$ 3 x-4 y+5-2 k=0 $$, determina $$ k $$ in modo che: \ $$ \begin{array}{ll}	ext { a. passi per l'origine degli assi; } & 	ext { c. sia parallela alla retta } y=\frac{1-3 x}{4} ; \ 	ext { b. intersechi l'asse delle ascisse in }-3 ; & 	ext { d. sia perpendicolare alla retta di equazione } 4 x+3 y+6=0\end{array} $$ \ \hline (a) $$ \frac{5}{2} ; $$ b) $$ -2 ; $$ c) $$ 
exists k \in \mathbb{R} $$, d) $$ \left.\vee k \in \mathbb{R}ight] $$\end{tabular}

UpStudy AI · Accepted Answer

Certamente! Esaminiamo ciascuna delle condizioni per determinare il valore di $$ k $$ nella retta di equazione $$ 3x - 4y + 5 - 2k = 0 $$.

### a. La retta passa per l'origine degli assi.

Perché una retta passi per l'origine $$(0,0)$$, deve soddisfare l'equazione della retta quando $$ x = 0 $$ e $$ y = 0 $$.

Sostituiamo $$ x = 0 $$ e $$ y = 0 $$ nell'equazione:
$$
3(0) - 4(0) + 5 - 2k = 0 \
5 - 2k = 0 \
2k = 5 \
k = \frac{5}{2}
$$

**Risposta:** $$ k = \frac{5}{2} $$

### b. La retta interseca l'asse delle ascisse in $$ -3 $$.

L'intersezione con l'asse delle ascisse avviene quando $$ y = 0 $$. Dobbiamo trovare $$ k $$ tale che $$ x = -3 $$ soddisfi l'equazione della retta.

Sostituiamo $$ y = 0 $$ e $$ x = -3 $$:
$$
3(-3) - 4(0) + 5 - 2k = 0 \
-9 + 5 - 2k = 0 \
-4 - 2k = 0 \
2k = -4 \
k = -2
$$

**Risposta:** $$ k = -2 $$

### c. La retta è parallela alla retta $$ y = \frac{1 - 3x}{4} $$.

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare. Determiniamo il coefficiente angolare della retta data e di quella di riferimento.

Equazione data:
$$
3x - 4y + 5 - 2k = 0 \
-4y = -3x - 5 + 2k \
y = \frac{3}{4}x + \frac{5 - 2k}{4}
$$
Il coefficiente angolare è $$ m_1 = \frac{3}{4} $$.

Equazione di riferimento:
$$
y = \frac{1 - 3x}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}
$$
Il coefficiente angolare è $$ m_2 = -\frac{3}{4} $$.

Per essere parallele:
$$
m_1 = m_2 \
\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}
$$
Questa equazione non ha soluzioni reali.

**Risposta:** Non esiste un valore reale di $$ k $$ che soddisfi questa condizione.

### d. La retta è perpendicolare alla retta di equazione $$ 4x + 3y + 6 = 0 $$.

Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è $$ -1 $$.

Determiniamo il coefficiente angolare della seconda retta:
$$
4x + 3y + 6 = 0 \
3y = -4x - 6 \
y = -\frac{4}{3}x - 2
$$
Il coefficiente angolare è $$ m_2 = -\frac{4}{3} $$.

Il coefficiente angolare della retta data è $$ m_1 = \frac{3}{4} $$.

Verifichiamo la condizione di perpendicularità:
$$
m_1 \cdot m_2 = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -1
$$
Questa uguaglianza è verificata indipendentemente dal valore di $$ k $$.

**Risposta:** La condizione è soddisfatta per ogni $$ k \in \mathbb{R} $$.

### **Riepilogo delle Risposte:**
- **a.** $$ k = \frac{5}{2} $$
- **b.** $$ k = -2 $$
- **c.** Non esiste $$ k \in \mathbb{R} $$
- **d.** Qualsiasi $$ k \in \mathbb{R} $$
**Risposte:** - **a.** $$ k = \frac{5}{2} $$ - **b.** $$ k = -2 $$ - **c.** Non esiste un valore di $$ k $$ - **d.** Qualsiasi valore di $$ k $$ funziona

Data la retta di equazione , determina in modo che:

(a) b) c) , d)

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