\begin{tabular}{l} Data la retta di equazione \( 3 x-4 y+5-2 k=0 \), determina \( k \) in modo che: \\ \( \begin{array}{ll}\text { a. passi per l'origine degli assi; } & \text { c. sia parallela alla retta } y=\frac{1-3 x}{4} ; \\ \text { b. intersechi l'asse delle ascisse in }-3 ; & \text { d. sia perpendicolare alla retta di equazione } 4 x+3 y+6=0\end{array} \) \\ \hline (a) \( \frac{5}{2} ; \) b) \( -2 ; \) c) \( \nexists k \in \mathbb{R} \), d) \( \left.\vee k \in \mathbb{R}\right] \)\end{tabular}

Certamente! Esaminiamo ciascuna delle condizioni per determinare il valore di \( k \) nella retta di equazione \( 3x - 4y + 5 - 2k = 0 \). ### a. La retta passa per l'origine degli assi. Perché una retta passi per l'origine \((0,0)\), deve soddisfare l'equazione della retta quando \( x = 0 \) e \( y = 0 \). Sostituiamo \( x = 0 \) e \( y = 0 \) nell'equazione: \[ 3(0) - 4(0) + 5 - 2k = 0 \\ 5 - 2k = 0 \\ 2k = 5 \\ k = \frac{5}{2} \] **Risposta:** \( k = \frac{5}{2} \) ### b. La retta interseca l'asse delle ascisse in \( -3 \). L'intersezione con l'asse delle ascisse avviene quando \( y = 0 \). Dobbiamo trovare \( k \) tale che \( x = -3 \) soddisfi l'equazione della retta. Sostituiamo \( y = 0 \) e \( x = -3 \): \[ 3(-3) - 4(0) + 5 - 2k = 0 \\ -9 + 5 - 2k = 0 \\ -4 - 2k = 0 \\ 2k = -4 \\ k = -2 \] **Risposta:** \( k = -2 \) ### c. La retta è parallela alla retta \( y = \frac{1 - 3x}{4} \). Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare. Determiniamo il coefficiente angolare della retta data e di quella di riferimento. Equazione data: \[ 3x - 4y + 5 - 2k = 0 \\ -4y = -3x - 5 + 2k \\ y = \frac{3}{4}x + \frac{5 - 2k}{4} \] Il coefficiente angolare è \( m_1 = \frac{3}{4} \). Equazione di riferimento: \[ y = \frac{1 - 3x}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{4} \] Il coefficiente angolare è \( m_2 = -\frac{3}{4} \). Per essere parallele: \[ m_1 = m_2 \\ \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} \] Questa equazione non ha soluzioni reali. **Risposta:** Non esiste un valore reale di \( k \) che soddisfi questa condizione. ### d. La retta è perpendicolare alla retta di equazione \( 4x + 3y + 6 = 0 \). Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è \( -1 \). Determiniamo il coefficiente angolare della seconda retta: \[ 4x + 3y + 6 = 0 \\ 3y = -4x - 6 \\ y = -\frac{4}{3}x - 2 \] Il coefficiente angolare è \( m_2 = -\frac{4}{3} \). Il coefficiente angolare della retta data è \( m_1 = \frac{3}{4} \). Verifichiamo la condizione di perpendicularità: \[ m_1 \cdot m_2 = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -1 \] Questa uguaglianza è verificata indipendentemente dal valore di \( k \). **Risposta:** La condizione è soddisfatta per ogni \( k \in \mathbb{R} \). ### **Riepilogo delle Risposte:** - **a.** \( k = \frac{5}{2} \) - **b.** \( k = -2 \) - **c.** Non esiste \( k \in \mathbb{R} \) - **d.** Qualsiasi \( k \in \mathbb{R} \)