2) Déterminer l'argument et le module du nombre complexe suivant: $$ z_{1}=(1-i)^{6} $$. 3) Déterminer l'ensemble des points $$ M(z) $$ vérifiant: $$ (z+2)(\bar{z}+i) \in \mathbb{R} $$.

Question

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### **2) Détermination de l'argument et du module de $$ z_{1} = (1 - i)^{6} $$**

Pour déterminer le module et l'argument de $$ z_{1} $$, procédons en deux étapes :

1. **Calcul du module de $$ 1 - i $$ :**
   $$
   |1 - i| = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
   $$

2. **Calcul de l'argument de $$ 1 - i $$ :**
   $$
   \arg(1 - i) = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4}
   $$
   (On peut aussi exprimer l'argument dans l'intervalle $$ [0, 2\pi) $$ en ajoutant $$ 2\pi $$ : $$ \frac{7\pi}{4} $$).

Maintenant, élevons $$ (1 - i) $$ à la puissance 6 :

- **Module de $$ z_{1} $$ :**
  $$
  |z_{1}| = |1 - i|^{6} = (\sqrt{2})^{6} = (2)^{3} = 8
  $$

- **Argument de $$ z_{1} $$ :**
  $$
  \arg(z_{1}) = 6 \times \arg(1 - i) = 6 \times \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{2}
  $$
  En ajoutant $$ 2\pi $$ pour obtenir un argument positif :
  $$
  -\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2}
  $$

**Conclusion :**
$$
|z_{1}| = 8 \quad \text{et} \quad \arg(z_{1}) = \frac{\pi}{2} \text{ radians}
$$

### **3) Détermination de l'ensemble des points $$ M(z) $$ vérifiant $$ (z + 2)(\overline{z} + i) \in \mathbb{R} $$**

Soit $$ z = x + iy $$, où $$ x $$ et $$ y $$ sont réels.

Calculons l'expression donnée :
$$
(z + 2)(\overline{z} + i) = (x + 2 + iy)(x - iy + i) = (x + 2 + iy)(x + i(1 - y))
$$

Développons :
$$
= (x + 2)x + (x + 2)i(1 - y) + i y x + i^{2} y(1 - y)
$$
$$
= x^{2} + 2x + i(x + 2)(1 - y) + i x y - y(1 - y)
$$
$$
= (x^{2} + 2x - y + y^{2}) + i(x + 2 - 2y)
$$

Pour que le produit soit réel, la partie imaginaire doit être nulle :
$$
x + 2 - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x + 2}{2}
$$

**Conclusion :**

L'ensemble des points $$ M(z) $$ vérifiant l'équation donnée est la droite d'équation :
$$
y = \frac{x + 2}{2}
$$
C'est-à-dire tous les points du plan dont les coordonnées $$ (x, y) $$ satisfont $$ y = \frac{x + 2}{2} $$.
**2) Module et Argument de $$ z_{1} = (1 - i)^{6} $$:** - **Module:** 8 - **Argument:** $$ \frac{\pi}{2} $$ radians **3) Ensemble des Points $$ M(z) $$ Vérifiant $$ (z + 2)(\overline{z} + i) \in \mathbb{R} $$:** L'ensemble est la droite définie par l'équation $$ y = \frac{x + 2}{2} $$.

Déterminer l’argument et le module du nombre complexe suivant: .

Déterminer l’ensemble des points vérifiant: .

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