2) Déterminer l'argument et le module du nombre complexe suivant: \( z_{1}=(1-i)^{6} \). 3) Déterminer l'ensemble des points \( M(z) \) vérifiant: \( (z+2)(\bar{z}+i) \in \mathbb{R} \).

### **2) Détermination de l'argument et du module de \( z_{1} = (1 - i)^{6} \)** Pour déterminer le module et l'argument de \( z_{1} \), procédons en deux étapes : 1. **Calcul du module de \( 1 - i \) :** \[ |1 - i| = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 2. **Calcul de l'argument de \( 1 - i \) :** \[ \arg(1 - i) = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4} \] (On peut aussi exprimer l'argument dans l'intervalle \( [0, 2\pi) \) en ajoutant \( 2\pi \) : \( \frac{7\pi}{4} \)). Maintenant, élevons \( (1 - i) \) à la puissance 6 : - **Module de \( z_{1} \) :** \[ |z_{1}| = |1 - i|^{6} = (\sqrt{2})^{6} = (2)^{3} = 8 \] - **Argument de \( z_{1} \) :** \[ \arg(z_{1}) = 6 \times \arg(1 - i) = 6 \times \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{2} \] En ajoutant \( 2\pi \) pour obtenir un argument positif : \[ -\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} \] **Conclusion :** \[ |z_{1}| = 8 \quad \text{et} \quad \arg(z_{1}) = \frac{\pi}{2} \text{ radians} \] ### **3) Détermination de l'ensemble des points \( M(z) \) vérifiant \( (z + 2)(\overline{z} + i) \in \mathbb{R} \)** Soit \( z = x + iy \), où \( x \) et \( y \) sont réels. Calculons l'expression donnée : \[ (z + 2)(\overline{z} + i) = (x + 2 + iy)(x - iy + i) = (x + 2 + iy)(x + i(1 - y)) \] Développons : \[ = (x + 2)x + (x + 2)i(1 - y) + i y x + i^{2} y(1 - y) \] \[ = x^{2} + 2x + i(x + 2)(1 - y) + i x y - y(1 - y) \] \[ = (x^{2} + 2x - y + y^{2}) + i(x + 2 - 2y) \] Pour que le produit soit réel, la partie imaginaire doit être nulle : \[ x + 2 - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x + 2}{2} \] **Conclusion :** L'ensemble des points \( M(z) \) vérifiant l'équation donnée est la droite d'équation : \[ y = \frac{x + 2}{2} \] C'est-à-dire tous les points du plan dont les coordonnées \( (x, y) \) satisfont \( y = \frac{x + 2}{2} \).