4) Résoudre dans $$ C $$ les equations: $$ (E): 2 z^{2}-(6+2 i) z+6 i=0 \text { et }(F): z^{4}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 5) Déterminer la nature de la similitude directe suivante : $$ \left\{\begin{array}{c}f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \ z \mapsto i z-2+3 i\end{array}\right. $$

Question

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**4) Résolution des équations dans $$ \mathbb{C} $$:**

**(E) $$ 2 z^{2} - (6 + 2i) z + 6i = 0 $$**

Nous utilisons la formule quadratique pour résoudre cette équation :

$$ z = \frac{(6 + 2i) \pm \sqrt{(6 + 2i)^2 - 4 \times 2 \times 6i}}{2 \times 2} $$

Calculons le discriminant $$ \Delta $$ :

$$
\Delta = (6 + 2i)^2 - 4 \times 2 \times 6i = 32 - 24i
$$

Pour trouver la racine carrée de $$ \Delta $$, posons $$ \sqrt{32 - 24i} = a + ib $$. En résolvant, on obtient :

$$
\sqrt{32 - 24i} = 6 - 2i \quad \text{ou} \quad -6 + 2i
$$

Ainsi, les solutions sont :

$$
z_1 = \frac{6 + 2i + 6 - 2i}{4} = \frac{12}{4} = 3
$$
$$
z_2 = \frac{6 + 2i - (6 - 2i)}{4} = \frac{4i}{4} = i
$$

**Solutions de (E) :** $$ z = 3 $$ et $$ z = i $$

---

**(F) $$ z^{4} = \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$**

Représentons le membre de droite sous forme exponentielle :

$$
\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \pi/3}
$$

Pour trouver les racines quatrième, nous utilisons :

$$
z_k = e^{i (\pi/3 + 2k\pi)/4} = e^{i (\pi/12 + k\pi/2)} \quad \text{pour} \quad k = 0, 1, 2, 3
$$

Ainsi, les solutions sont :

$$
z_0 = e^{i \pi/12} = \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)
$$
$$
z_1 = e^{i 7\pi/12} = \cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)
$$
$$
z_2 = e^{i 13\pi/12} = \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)
$$
$$
z_3 = e^{i 19\pi/12} = \cos\left(\dfrac{19\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{19\pi}{12}\right)
$$

**Solutions de (F) :**

$$
z = e^{i \pi/12}, \quad e^{i 7\pi/12}, \quad e^{i 13\pi/12}, \quad e^{i 19\pi/12}
$$

---

**5) Nature de la similitude directe $$ f(z) = i z - 2 + 3i $$**

La transformation $$ f $$ peut être exprimée sous la forme affine :

$$
f(z) = \alpha z + \beta \quad \text{avec} \quad \alpha = i \quad \text{et} \quad \beta = -2 + 3i
$$

Analysons les paramètres :

- **Rotation et homothétie :** Le terme $$ \alpha = i $$ a pour module $$ |\alpha| = 1 $$ et argument $$ \arg(\alpha) = \dfrac{\pi}{2} $$. Cela correspond à une rotation de $$ 90^\circ $$ (ou $$ \dfrac{\pi}{2} $$ radians) sans changement de taille (puisque le module est 1).

- **Translation :** Le terme $$ \beta = -2 + 3i $$ représente une translation dans le plan complexe de vecteur $$ (-2, 3) $$.

**Conclusion :** La similitude directe $$ f $$ est composée d'une rotation de $$ 90^\circ $$ autour de l'origine suivie d'une translation par le vecteur $$ -2 + 3i $$. Elle conserve les angles et les rapports de distances (sans réflexion), caractéristique d'une similitude directe.
**4) Solutions des Équations dans $$ \mathbb{C} $$:** **(E) $$ 2 z^{2} - (6 + 2i) z + 6i = 0 $$** - $$ z = 3 $$ - $$ z = i $$ **(F) $$ z^{4} = \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$** - $$ z = e^{i \pi/12} $$ - $$ z = e^{i 7\pi/12} $$ - $$ z = e^{i 13\pi/12} $$ - $$ z = e^{i 19\pi/12} $$ --- **5) Nature de la Similitude Directe $$ f(z) = i z - 2 + 3i $$:** - **Rotation de $$ 90^\circ $$ autour de l'origine** - **Translation de vecteur $$ -2 + 3i $$** C'est une similitude directe composée d'une rotation suivie d'une translation, qui conserve les angles et les rapports de distances.

4) Résoudre dans \( C \) les equations: \[ (E): 2 z^{2}-(6+2 i) z+6 i=0 \text { et }(F): z^{4}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \] 5) Déterminer la nature de la similitude directe suivante : \( \left\{\begin{array}{c}f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \\ z \mapsto i z-2+3 i\end{array}\right. \)

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