10. а) Решите уравнение \( \frac{\sin 2 x}{\sin \left(\frac{7 \pi}{2}-x\right)}=\sqrt{2} \). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку \( \left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] \).

**Решение:** **а) Решим уравнение** \[ \frac{\sin 2x}{\sin \left(\frac{7\pi}{2} - x\right)} = \sqrt{2} \] 1. **Упростим знаменатель:** \[ \sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \] (так как \(\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}\) и \(\sin(\theta + 2\pi n) = \sin \theta\)). 2. **Подставим упрощение в уравнение:** \[ \frac{\sin 2x}{\cos x} = \sqrt{2} \] 3. **Используем формулу двойного угла:** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] \[ \frac{2 \sin x \cos x}{\cos x} = 2 \sin x = \sqrt{2} \] \[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 4. **Общее решение уравнения:** \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] **б) Найдём корни уравнения на отрезке** \(\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\). 1. **Запишем возможные решения:** \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \] 2. **Определим значения \(n\), чтобы \(x\) попадал в указанный интервал:** \[ 2\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{2} \] 3. **Подставим значения \(n = 1\):** \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.0686 \quad (\text{принадлежит отрезку}) \] \[ x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.6394 \quad (\text{принадлежит отрезку}) \] 4. **Проверим \(n = 2\):** \[ x_3 = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 13.3518 \quad (\text{не принадлежит отрезку}) \] **Таким образом, корни уравнения на отрезке \(\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\) равны:** \[ x = \frac{9\pi}{4}, \quad x = \frac{11\pi}{4} \]