Application \( \begin{array}{lll}\text { Ecrire la forme canonique de } f(x) \text { dans chacun des cas suivants : } \\ \begin{array}{lll}\text { a) } f(x)=2 x+x^{2} & \text {;b) } f(x)=x^{2}-5 x+1 \text {;c) } f(x)=-x^{2}+x-2 \\ \text { d) } f(x)=2 x^{2}+\frac{3}{4} x+5 ; \text {;) } f(x)=(3 x-2)(x+3) ; & \text { f) } f(x)=-2 x^{2}-5 x+3 \\ \text { g) } f(x)=x^{2}+\sqrt{2} x+1 ; & \text { h) } f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x ; & \text { i) } f(x)=x-2 x^{2} \\ \text { j) } f(x)=x(3 x-2)-2 ; & \text { k) } f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-x-8 ; & \text { 1) } f(x)=-2 \sqrt{3} x^{2}-\sqrt{6} x\end{array}\end{array} \)

Voici la forme canonique \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) de chacune des fonctions quadratiques données : --- **a) \( f(x) = 2x + x^{2} \)** Réécrivons l’équation en réarrangeant les termes : \[ f(x) = x^{2} + 2x \] Pour compléter le carré : \[ f(x) = (x^{2} + 2x + 1) - 1 \] \[ f(x) = (x + 1)^2 - 1 \] **Forme canonique :** \[ f(x) = (x + 1)^2 - 1 \] --- **b) \( f(x) = x^{2} - 5x + 1 \)** Complétons le carré : \[ f(x) = x^{2} - 5x \] \[ f(x) = \left( x^{2} - 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 \right) - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 1 \] \[ f(x) = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + 1 \] \[ f(x) = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{21}{4} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{21}{4} \] --- **c) \( f(x) = -x^{2} + x - 2 \)** Factorisons le coefficient de \( x^{2} \) : \[ f(x) = -\left(x^{2} - x\right) - 2 \] Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses : \[ f(x) = -\left( x^{2} - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) + \frac{1}{4} - 2 \] \[ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 \] \[ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4} \] --- **d) \( f(x) = 2x^{2} + \frac{3}{4}x + 5 \)** Factorisons le coefficient de \( x^{2} \) : \[ f(x) = 2\left(x^{2} + \frac{3}{8}x\right) + 5 \] Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses : \[ f(x) = 2\left(x^{2} + \frac{3}{8}x + \left(\frac{3}{16}\right)^2\right) - 2\left(\frac{9}{256}\right) + 5 \] \[ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{16}\right)^2 - \frac{9}{128} + 5 \] \[ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{16}\right)^2 + \frac{631}{128} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{16}\right)^2 + \frac{631}{128} \] --- **e) \( f(x) = (3x - 2)(x + 3) \)** Développons l'expression : \[ f(x) = 3x(x) + 3x(3) - 2(x) - 2(3) \] \[ f(x) = 3x^{2} + 9x - 2x - 6 \] \[ f(x) = 3x^{2} + 7x - 6 \] Forme canonique : \[ f(x) = 3\left(x^{2} + \frac{7}{3}x\right) - 6 \] \[ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - 3\left(\frac{49}{36}\right) - 6 \] \[ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{49}{12} - 6 \] \[ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{121}{12} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = 3\left(x + \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{121}{12} \] --- **f) \( f(x) = -2x^{2} - 5x + 3 \)** Factorisons le coefficient de \( x^{2} \) : \[ f(x) = -2\left(x^{2} + \frac{5}{2}x\right) + 3 \] Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses : \[ f(x) = -2\left(x^{2} + \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2\right) + 2\left(\frac{25}{16}\right) + 3 \] \[ f(x) = -2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{25}{8} + 3 \] \[ f(x) = -2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{49}{8} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = -2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{49}{8} \] --- **g) \( f(x) = x^{2} + \sqrt{2}x + 1 \)** Complétons le carré : \[ f(x) = x^{2} + \sqrt{2}x \] \[ f(x) = \left(x^{2} + \sqrt{2}x + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 \] \[ f(x) = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 \] \[ f(x) = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \] --- **h) \( f(x) = -\frac{1}{2}x^{2} + 4x \)** Factorisons le coefficient de \( x^{2} \) : \[ f(x) = -\frac{1}{2}\left(x^{2} - 8x\right) \] Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses : \[ f(x) = -\frac{1}{2}\left(x^{2} - 8x + 16\right) + \frac{16}{2} \] \[ f(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 \] **Forme canonique :** \[ f(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 \] --- **i) \( f(x) = x - 2x^{2} \)** Réarrangeons les termes : \[ f(x) = -2x^{2} + x \] Factorisons le coefficient de \( x^{2} \) : \[ f(x) = -2\left(x^{2} - \frac{1}{2}x\right) \] Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses : \[ f(x) = -2\left(x^{2} - \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) + 2\left(\frac{1}{16}\right) \] \[ f(x) = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8} \] --- **j) \( f(x) = x(3x - 2) - 2 \)** Développons l'expression : \[ f(x) = 3x^{2} - 2x - 2 \] Forme canonique : \[ f(x) = 3\left(x^{2} - \frac{2}{3}x\right) - 2 \] \[ f(x) = 3\left(x^{2} - \frac{2}{3}x + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) - 3\left(\frac{1}{9}\right) - 2 \] \[ f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} - 2 \] \[ f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{7}{3} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{7}{3} \] --- **k) \( f(x) = \frac{1}{4}x^{2} - x - 8 \)** Factorisons le coefficient de \( x^{2} \) : \[ f(x) = \frac{1}{4}\left(x^{2} - 4x\right) - 8 \] Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses : \[ f(x) = \frac{1}{4}\left(x^{2} - 4x + 4\right) - \frac{4}{4} - 8 \] \[ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 1 - 8 \] \[ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 9 \] **Forme canonique :** \[ f(x) = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 9 \] --- **l) \( f(x) = -2\sqrt{3}x^{2} - \sqrt{6}x \)** Factorisons le coefficient de \( x^{2} \) : \[ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x^{2} + \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}x\right) \] \[ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}x\right) \] Complétons le carré à l’intérieur des parenthèses : \[ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}x + \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2\right) + 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} \] **Forme canonique :** \[ f(x) = -2\sqrt{3}\left(x + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} \] ---