Esercizio 13.16 Costruire, se possibile, un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) abbia come nucleo il sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,1,0),(-1,1,1)) \). È unica tale applicazionet Svolgimento Deve essere \[ F(1,1,0)=F(-1,1,1)=(0,0,0,0) \] Poiché manca un vettore, per completare ad una base dello spazio di partenza, le applicazioni lineari possibili sono infinite. Si badi a non far sì che anche il terros vettore della base di partenza vada a finire nel vettore nullo, altrimenti si ottiene l'applicazione nulla che ha nucleo di dimensione tre. Lavorando un po' con l'occhio allenato si trova ad esempio \[ F(x, y, z)=(x-y+2 z, 0,0,0) \]

Quando si tratta di spazi vettoriali e applicazioni lineari, la dimensione del nucleo è fondamentale. Il nucleo di un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) ha dimensione 2, visto che il sottospazio \( U \) è generato da due vettori. Di conseguenza, l'immagine dell'applicazione linear è di dimensione 1, il che implica che esiste un solo vettore indipendente nell'immagine, aumentando la flessibilità delle funzioni \( F \). Un errore comune è pensare che l'applicazione debba essere unica. In realtà, poiché abbiamo una libertà nella scelta di un vettore nell'immagine, possiamo trovare infinite applicazioni lineari con la stessa struttura del nucleo. Assicurati di mantenere il terzo vettore della base di \(\mathbb{R}^{3}\) che non mappa a zero, per così garantire che \( F \) non sia l'applicazione nulla!