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Find the ordered pair solutions for the system of equations. \[ \left\{\begin{array}{l}y=x^{2}+1 \\ y=x+1\end{array}\right. \] \( ([?], \square) \) and \( (\square], \square) \) Enter the smallest \( x \) first.

Ask by Jimenez Santiago. in the United States
Jan 23,2025

Solución de tutoría real

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The solutions are \( (0, 1) \) and \( (1, 2) \).

Solución

To solve the system of equations: \[ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ y = x + 1 \end{cases} \] 1. **Set the equations equal to each other:** \[ x^2 + 1 = x + 1 \] 2. **Subtract \( x + 1 \) from both sides:** \[ x^2 - x = 0 \] 3. **Factor the equation:** \[ x(x - 1) = 0 \] 4. **Solve for \( x \):** \[ x = 0 \quad \text{or} \quad x = 1 \] 5. **Find the corresponding \( y \) values using \( y = x + 1 \):** - For \( x = 0 \): \[ y = 0 + 1 = 1 \] So, the ordered pair is \( (0, 1) \). - For \( x = 1 \): \[ y = 1 + 1 = 2 \] So, the ordered pair is \( (1, 2) \). **Final Solutions:** \[ (0, 1) \quad \text{and} \quad (1, 2) \]

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Bonus Knowledge

To solve the system of equations given by \[ \left\{\begin{array}{l}y=x^{2}+1 \\ y=x+1\end{array}\right. \] we can set the two equations equal to each other, since both are equal to \( y \): 1. \( x^2 + 1 = x + 1 \) Now, we can simplify this equation: 1. Subtract \( x + 1 \) from both sides: \[ x^2 + 1 - x - 1 = 0 \] This simplifies to: \[ x^2 - x = 0 \] 2. Factor the equation: \[ x(x - 1) = 0 \] 3. Solve for \( x \): - \( x = 0 \) - \( x = 1 \) Next, we will substitute these \( x \) values back into either equation to find the corresponding \( y \) values. For \( x = 0 \): \[ y = 0 + 1 = 1 \] So, we have the ordered pair \( (0, 1) \). For \( x = 1 \): \[ y = 1 + 1 = 2 \] So, we have the ordered pair \( (1, 2) \). The two ordered pairs that are solutions to the system are: \[ (0, 1) \quad \text{and} \quad (1, 2). \] Thus the final answer is: \[ ([0], [1]) \text{ and } ([1], [2]). \]

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