Hallar el área de la región limitada por \( y=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \) y \( \quad y=\frac{3 x}{\sqrt{x+1}} \). tallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado

Para hallar el área entre las curvas \( y=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \) y \( y=\frac{3 x}{\sqrt{x+1}} \), primero igualamos las funciones para encontrar los puntos de intersección: \[ \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} = \frac{3x}{\sqrt{x+1}} \implies x^2 = 3x \implies x(x - 3) = 0 \] Esto nos da \( x = 0 \) y \( x = 3 \) como puntos de intersección. El área \( A \) entre las curvas en el intervalo de 0 a 3 se calcula mediante la integral: \[ A = \int_{0}^{3} \left( \frac{3x}{\sqrt{x+1}} - \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} \right) dx = \int_{0}^{3} \frac{3x - x^2}{\sqrt{x+1}} dx \] Para calcular la integral, puedes usar técnicas de sustitución o integración por partes. El resultado del área te dará una idea de la "extensión" de la región entre las curvas. Para hallar el valor promedio de la función en el intervalo \([a, b]\), se utiliza la fórmula: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx \] En este caso, \( a = 0 \) y \( b = 3 \). Así que necesitas calcular la integral de ambas funciones y luego usar la fórmula mencionada para obtener el valor promedio. Dividir el resultado entre el ancho del intervalo \(b-a\) (que en este caso sería 3) dará el valor promedio deseado.