Exercice 1: Détermine l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes: \( \begin{array}{ll}\text { 1) } f(x)=\frac{-2 x^{2}+4 x^{2}+1}{3-E(x)} \text {; 2) } f(x)=\frac{\sqrt{1-4 x^{2}}}{x} \text {; 3) } f(x)=x^{3}-3 x^{2}+5 x-\frac{1}{x+}\end{array} \)

**Exercice 1 :** Déterminons l'ensemble de définition de chacune des fonctions données. --- **1) \( f(x) = \frac{-2x^{2} + 4x^{2} + 1}{3 - E(x)} \)** *Simplification du numérateur :* \[ -2x^{2} + 4x^{2} + 1 = 2x^{2} + 1 \] Donc, la fonction devient : \[ f(x) = \frac{2x^{2} + 1}{3 - E(x)} \] *Conditions pour l'ensemble de définition :* - Le dénominateur ne doit pas être nul : \[ 3 - E(x) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad E(x) \neq 3 \] *Conclusion :* \[ \text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ x \mid E(x) = 3 \} \] *Remarque :* \( E(x) \) représente une fonction donnée. Si \( E(x) \) est l'exponentielle, c'est-à-dire \( E(x) = e^{x} \), alors l'équation \( e^{x} = 3 \) a une solution unique \( x = \ln(3) \). Dans ce cas, l'ensemble de définition serait : \[ \text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \ln(3) \} \] --- **2) \( f(x) = \frac{\sqrt{1 - 4x^{2}}}{x} \)** *Conditions pour l'ensemble de définition :* 1. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : \[ 1 - 4x^{2} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 4x^{2} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x^{2} \leq \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad |x| \leq \frac{1}{2} \] 2. Le dénominateur ne doit pas être nul : \[ x \neq 0 \] *Conclusion :* \[ \text{D}(f) = \left] -\frac{1}{2}, 0 \right[ \cup \left] 0, \frac{1}{2} \right[ \] --- **3) \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - \frac{1}{x+} \)** *Remarque :* Il semble y avoir une erreur typographique dans l'expression du dénominateur \( x+ \). Supposons que le dénominateur soit \( x + a \), où \( a \) est une constante. Dans ce cas, la condition pour l'ensemble de définition serait \( x \neq -a \). Cependant, si l'intention était d'écrire \( \frac{1}{x} \), alors le dénominateur est simplement \( x \). *Supposition 1 : \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - \frac{1}{x + a} \)* \[ \text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -a \} \] *Supposition 2 : \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - \frac{1}{x} \)* \[ \text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \] *Conclusion :* - **Si le dénominateur est \( x + a \) :** \[ \text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -a \} \] - **Si le dénominateur est \( x \) :** \[ \text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \] *Il est recommandé de vérifier l'expression exacte du dénominateur pour déterminer l'ensemble de définition correct.* ---