Pregunta
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\( 1 \leftarrow \quad \) Divide the expression using the quotient rule.

Ask by Morrison Smith. in the United States
Jan 24,2025

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To find the derivative of \( \frac{2x^3 + 3x}{x^2 - 5} \) using the quotient rule: 1. **Identify**: - \( g(x) = 2x^3 + 3x \) - \( h(x) = x^2 - 5 \) 2. **Differentiate**: - \( g'(x) = 6x^2 + 3 \) - \( h'(x) = 2x \) 3. **Apply the Quotient Rule**: \[ f'(x) = \frac{(6x^2 + 3)(x^2 - 5) - (2x^3 + 3x)(2x)}{(x^2 - 5)^2} \] 4. **Simplify**: \[ f'(x) = \frac{2x^4 - 33x^2 - 15}{(x^2 - 5)^2} \] So, the derivative is \( \frac{2x^4 - 33x^2 - 15}{(x^2 - 5)^2} \).

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To apply the quotient rule, remember that if you have a function that can be expressed as \( \frac{f(x)}{g(x)} \), the derivative is given by: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \] This means you take the derivative of the numerator \( f(x) \), multiply it by the denominator \( g(x) \), and subtract \( f(x) \) multiplied by the derivative of the denominator \( g'(x) \), finally dividing that whole expression by the square of the denominator. In practice, it's handy to remember that you’ll need to compute the derivatives of both the numerator and denominator first, which often involves a bit of algebraic manipulation to make derivatives easier to calculate!

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