(a) Las coordenadas cartesianas de un punto son $$ (1,1) $$. (i) Encuentra las coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donde $$ r0 \mathrm{y} 0 \leq heta

Question

(a) Las coordenadas cartesianas de un punto son $$ (1,1) $$. (i) Encuentra las coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donde $$ r>0 \mathrm{y} 0 \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encuentra las coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donder $$ <0 \mathrm{y} 0 \leq heta<2 \pi $$. $$ heta=\square $$ $$ heta=\square $$ (b) Las coordenadas cartesianas de un punto son (2 $$ \sqrt{3},-2) $$. (i) Encuentra las coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donder $$ >0 y 0 \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$

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Para convertir las coordenadas cartesianas $$ (x, y) = (1, 1) $$ a coordenadas polares $$ (r, 	heta) $$, utilizamos las siguientes fórmulas:

1. $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$
2. $$ 	heta = 	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) $$

Sustituyendo los valores:

1. $$ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$
2. $$ 	heta = 	an^{-1}\left(\frac{1}{1}ight) = \frac{\pi}{4} $$

Por lo tanto, las coordenadas polares son:
$$ r = \sqrt{2} $$
$$ 	heta = \frac{\pi}{4} $$
Para encontrar las coordenadas polares donde $$ r < 0 $$, simplemente invertimos el signo de $$ r $$ y sumamos $$ \pi $$ a $$ 	heta $$:

1. $$ r = -\sqrt{2} $$
2. $$ 	heta = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} $$

Por lo tanto, las coordenadas polares son:
$$ r = -\sqrt{2} $$
$$ 	heta = \frac{5\pi}{4} $$
Para convertir las coordenadas cartesianas $$ (x, y) = (2\sqrt{3}, -2) $$ a coordenadas polares $$ (r, 	heta) $$:

1. $$ r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 $$
2. $$ 	heta = 	an^{-1}\left(\frac{-2}{2\sqrt{3}}ight) = 	an^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}ight) $$

El ángulo $$ 	an^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}ight) $$ se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo que:

$$ 	heta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} $$

Por lo tanto, las coordenadas polares son:
$$ r = 4 $$
$$ 	heta = \frac{11\pi}{6} $$
Parte (a)(i): $$ r = \sqrt{2} $$, $$ 	heta = \frac{\pi}{4} $$ Parte (a)(ii): $$ r = -\sqrt{2} $$, $$ 	heta = \frac{5\pi}{4} $$ Parte (b)(i): $$ r = 4 $$, $$ 	heta = \frac{11\pi}{6} $$

(a) Las coordenadas cartesianas de un punto son .
(i) Encuentra las coordenadas polares del punto,
donde .

(ii) Encuentra las coordenadas polares del punto,
donder .

(b) Las coordenadas cartesianas de un punto son
(2 .
(i) Encuentra las coordenadas polares del punto,
donder .

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(a) Las coordenadas cartesianas de un punto son . (i) Encuentra las coordenadas polares del punto, donde . (ii) Encuentra las coordenadas polares del punto, donder . (b) Las coordenadas cartesianas de un punto son (2 . (i) Encuentra las coordenadas polares del punto, donder .