22. On considère la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ définie pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$ par $$ u_{0}=10 $$ et $$ u_{n+1}=\frac{1}{4} u_{n}+6 $$. 1. Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$. 2. Prouver par récurrence que $$ u_{n} \geqslant 8 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. 3. En déduire sur le sens de variation de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$. 4. La suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est-elle convergente?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Pour conjecturer le sens de variation de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$, nous pouvons calculer les premiers termes de la suite à la calculatrice. Ensuite, nous observons la relation $$ u_{n+1}=\frac{1}{4} u_{n}+6 $$ pour déterminer si les termes de la suite augmentent ou diminuent.

Calculons les premiers termes :
- $$ u_0 = 10 $$
- $$ u_1 = \frac{1}{4} \cdot 10 + 6 = 2.5 + 6 = 8.5 $$
- $$ u_2 = \frac{1}{4} \cdot 8.5 + 6 = 2.125 + 6 = 8.125 $$
- $$ u_3 = \frac{1}{4} \cdot 8.125 + 6 = 2.03125 + 6 = 8.03125 $$

Observons que les termes de la suite diminuent. Donc, nous conjecturons que la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est décroissante.

2. Pour prouver par récurrence que $$ u_{n} \geqslant 8 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$, nous utilisons la technique de récurrence.

Base : $$ u_0 = 10 \geqslant 8 $$, donc la proposition est vraie pour $$ n = 0 $$.

Hypothèse : Supposons que $$ u_k \geqslant 8 $$ pour tout $$ k \leqslant n $$.

Récurrence : Nous devons montrer que $$ u_{n+1} \geqslant 8 $$.

En utilisant la relation $$ u_{n+1} = \frac{1}{4} u_n + 6 $$, nous avons :
$$ u_{n+1} = \frac{1}{4} u_n + 6 \geqslant \frac{1}{4} \cdot 8 + 6 = 2 + 6 = 8 $$

Donc, $$ u_{n+1} \geqslant 8 $$, et la proposition est vraie pour $$ n+1 $$.

Par récurrence, $$ u_n \geqslant 8 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$.

3. En déduisant sur le sens de variation de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$, nous avons montré que $$ u_n \geqslant 8 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$ et que les termes de la suite diminuent. Donc, la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est décroissante et bornée inférieurement par 8.

4. Pour déterminer si la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est convergente, nous devons vérifier si elle est décroissante et bornée inférieurement. Nous avons déjà montré que la suite est décroissante et bornée inférieurement par 8. Par conséquent, la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est convergente.
1. Calculer les premiers termes de la suite pour conjecturer son sens de variation. Observons que les termes diminuent, donc la suite est décroissante. 2. Par récurrence, prouvons que $$ u_n \geqslant 8 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. 3. La suite est décroissante et bornée inférieurement par 8, donc elle est convergente.

On considère la suite définie pour tout
par et .

Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de
la suite .

Prouver par récurrence que pour tout .

En déduire sur le sens de variation de la suite .

La suite est-elle convergente?

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Pre Calculus Questions

On considère la suite définie pour tout par et . Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de la suite . Prouver par récurrence que pour tout . En déduire sur le sens de variation de la suite . La suite est-elle convergente?