Pregunta
- On considère la suite
définie pour tout
par
et
.
- Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de
la suite
.
- Prouver par récurrence que
pour tout
.
- En déduire sur le sens de variation de la suite
.
- La suite
est-elle convergente?
la suite
Ask by Elliott Wyatt. in Mayotte
Nov 14,2024
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
Respuesta verificada por el tutor
Responder
- Calculer les premiers termes de la suite pour conjecturer son sens de variation. Observons que les termes diminuent, donc la suite est décroissante.
- Par récurrence, prouvons que
pour tout . - La suite est décroissante et bornée inférieurement par 8, donc elle est convergente.
Solución
- Pour conjecturer le sens de variation de la suite
, nous pouvons calculer les premiers termes de la suite à la calculatrice. Ensuite, nous observons la relation pour déterminer si les termes de la suite augmentent ou diminuent.
Calculons les premiers termes :
Observons que les termes de la suite diminuent. Donc, nous conjecturons que la suite
est décroissante.
- Pour prouver par récurrence que
pour tout , nous utilisons la technique de récurrence.
Base :
, donc la proposition est vraie pour
.
Hypothèse : Supposons que
pour tout
.
Récurrence : Nous devons montrer que
.
En utilisant la relation
, nous avons :
Donc,
, et la proposition est vraie pour
.
Par récurrence,
pour tout
.
-
En déduisant sur le sens de variation de la suite
, nous avons montré que pour tout et que les termes de la suite diminuent. Donc, la suite est décroissante et bornée inférieurement par 8. -
Pour déterminer si la suite
est convergente, nous devons vérifier si elle est décroissante et bornée inférieurement. Nous avons déjà montré que la suite est décroissante et bornée inférieurement par 8. Par conséquent, la suite est convergente.
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
Como
error msg


The Deep Dive
Pour examiner le sens de variation de la suite
, commençons par calculer quelques termes :
On peut conjecturer que la suite décroît, car les valeurs semblent diminuer.
Pour prouver par récurrence que
pour tout
, nous avons :
- Initialisation: Pour
, (vrai). - Hérédité: Supposons que
. Alors .
Ainsiest vrai pour et est vrai pour si vrai pour .
En déduire que la suite
décroît vers sa borne inférieure, ici
.
Pour savoir si
est convergente, observons que la suite est monotone croissante (puisque nous avons prouvé qu’elle ne descend pas en dessous de
) et bornée inférieurement par
. Donc,
converge et tend vers
quand
tend vers l’infini.

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde
Hazte Premium