Pregunta
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  1. On considère la suite définie pour tout
    par et .
  2. Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de
    la suite .
  3. Prouver par récurrence que pour tout .
  4. En déduire sur le sens de variation de la suite .
  5. La suite est-elle convergente?

Ask by Elliott Wyatt. in Mayotte
Nov 14,2024

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

  1. Calculer les premiers termes de la suite pour conjecturer son sens de variation. Observons que les termes diminuent, donc la suite est décroissante.
  2. Par récurrence, prouvons que pour tout .
  3. La suite est décroissante et bornée inférieurement par 8, donc elle est convergente.

Solución

  1. Pour conjecturer le sens de variation de la suite , nous pouvons calculer les premiers termes de la suite à la calculatrice. Ensuite, nous observons la relation pour déterminer si les termes de la suite augmentent ou diminuent.
Calculons les premiers termes :
Observons que les termes de la suite diminuent. Donc, nous conjecturons que la suite est décroissante.
  1. Pour prouver par récurrence que pour tout , nous utilisons la technique de récurrence.
Base : , donc la proposition est vraie pour .
Hypothèse : Supposons que pour tout .
Récurrence : Nous devons montrer que .
En utilisant la relation , nous avons :
Donc, , et la proposition est vraie pour .
Par récurrence, pour tout .
  1. En déduisant sur le sens de variation de la suite , nous avons montré que pour tout et que les termes de la suite diminuent. Donc, la suite est décroissante et bornée inférieurement par 8.
  2. Pour déterminer si la suite est convergente, nous devons vérifier si elle est décroissante et bornée inférieurement. Nous avons déjà montré que la suite est décroissante et bornée inférieurement par 8. Par conséquent, la suite est convergente.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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The Deep Dive

Pour examiner le sens de variation de la suite , commençons par calculer quelques termes :
On peut conjecturer que la suite décroît, car les valeurs semblent diminuer.
Pour prouver par récurrence que pour tout , nous avons :
  • Initialisation: Pour , (vrai).
  • Hérédité: Supposons que . Alors .
    Ainsi est vrai pour et est vrai pour si vrai pour .
En déduire que la suite décroît vers sa borne inférieure, ici .
Pour savoir si est convergente, observons que la suite est monotone croissante (puisque nous avons prouvé qu’elle ne descend pas en dessous de ) et bornée inférieurement par . Donc, converge et tend vers quand tend vers l’infini.

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