احل المعادلة الجذرية: $$ \sqrt{x + 7} = x - 1 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لحل المعادلة الجذرية $$ \sqrt{x + 7} = x - 1 $$، نتبع الخطوات التالية:

### الخطوة 1: تحديد مجال تعريف المعادلة
- **تحت الجذر التربيعي:** يجب أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب، أي:
  $$
  x + 7 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -7
  $$
- **جانب المعادلة الآخر:** الجذر التربيعي دائمًا غير سالب، لذا يجب أن يكون الجانب الأيمن من المعادلة غير سالب أيضًا:
  $$
  x - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1
  $$
  
بالتالي، مجال تعريف المعادلة هو:
$$
x \geq 1
$$

### الخطوة 2: التخلص من الجذر التربيعي
نربع كلا جانبي المعادلة:
$$
\left( \sqrt{x + 7} \right)^2 = (x - 1)^2 \quad \Rightarrow \quad x + 7 = x^2 - 2x + 1
$$

### الخطوة 3: إعادة ترتيب المعادلة
ننقل جميع الحدود إلى جهة واحدة للحصول على معادلة تربيعية:
$$
x + 7 - x^2 + 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 3x + 6 = 0
$$
نضرب المعادلة في $$-1$$ لتبسيطها:
$$
x^2 - 3x - 6 = 0
$$

### الخطوة 4: حل المعادلة التربيعية
نستخدم صيغة العوامل أو الصيغة التربيعية لحل المعادلة. هنا نستخدم الصيغة التربيعية:
$$
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}
$$

إذًا الحلول هي:
$$
x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{و} \quad x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}
$$

### الخطوة 5: التحقق من الحلول في مجال تعريف المعادلة
- **الحل الأول:** $$ x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} $$
  - $$\sqrt{33} \approx 5.7446$$، إذاً:
    $$
    x \approx \frac{3 + 5.7446}{2} \approx \frac{8.7446}{2} \approx 4.3723
    $$
  - هذا الحل يقع ضمن مجال تعريف المعادلة ($$x \geq 1$$).

- **الحل الثاني:** $$ x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} $$
  - $$\sqrt{33} \approx 5.7446$$، إذاً:
    $$
    x \approx \frac{3 - 5.7446}{2} \approx \frac{-2.7446}{2} \approx -1.3723
    $$
  - هذا الحل لا يقع ضمن مجال تعريف المعادلة ($$x \geq 1$$)، لذا نعتبره حلًا زائفًا وليس حلاً صالحًا.

### النتيجة النهائية
الحل الوحيد للمعادلة هو:
$$
x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}
$$
$$ x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} $$

احل المعادلة الجذرية: \( \sqrt{x + 7} = x - 1 \)

Solución de tutoría real

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions