5. \( \sqrt{\left(\frac{4}{9}+\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6}\right)+\frac{11}{9}}: \frac{6}{5}=x: \sqrt{\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{10}\right) \cdot \frac{1}{5}} \)

Per risolvere l'equazione \[ \sqrt{\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6}\right) + \frac{11}{9}} \div \frac{6}{5} = x \div \sqrt{\left(\frac{2}{5} + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{10}\right) \cdot \frac{1}{5}}, \] seguiamo i seguenti passi: ### 1. Calcolare l'espressione a sinistra dell'equazione \[ A = \sqrt{\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6}\right) + \frac{11}{9}} \] - Calcoliamo \(\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{12}\). - Sommiamo \(\frac{4}{9} + \frac{7}{12}\). Per sommare frazioni con denominatori diversi, troviamo il minimo comune denominatore, che è 36: \[ \frac{4}{9} = \frac{16}{36}, \quad \frac{7}{12} = \frac{21}{36} \quad \Rightarrow \quad \frac{16}{36} + \frac{21}{36} = \frac{37}{36} \] - Aggiungiamo \(\frac{11}{9} = \frac{44}{36}\): \[ \frac{37}{36} + \frac{44}{36} = \frac{81}{36} = \frac{9}{4} \] - Ora, calcoliamo la radice quadrata: \[ A = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \] ### 2. Dividere \(A\) per \(\frac{6}{5}\) \[ \frac{A}{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{3}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \] ### 3. Calcolare l'espressione a destra dell'equazione \[ C = \sqrt{\left(\frac{2}{5} + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{10}\right) \cdot \frac{1}{5}} \] - Calcoliamo \(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}\). - Sommiamo \(\frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}\). - Moltiplichiamo per \(\frac{1}{5}\): \[ \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{25} \] - Ora, calcoliamo la radice quadrata: \[ C = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} \] ### 4. Impostare l'equazione per \(x\) Dall'equazione iniziale: \[ \frac{5}{4} = \frac{x}{\frac{2}{5}} \] Risolvendo per \(x\): \[ x = \frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \] ### **Risposta Finale** \[ x = \frac{1}{2} \]