2. Dada la función $$ g: D \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{-x+3}{\frac{x}{2}-2} $$. [23 puntos] (a) Realizar una gráfica aproximada de la función $$ g $$, determinando: el dominio $$ D $$, asíntotas e intersecciones con los ejes coordenados. (b) Probar que la función $$ g $$ es inyectiva.

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Para realizar una gráfica aproximada de la función $$ g(x) = \frac{-x+3}{\frac{x}{2}-2} $$ y determinar el dominio $$ D $$, asíntotas e intersecciones con los ejes coordenados, primero necesitamos simplificar la función.

La función $$ g(x) $$ se puede simplificar de la siguiente manera:

$$ g(x) = \frac{-x+3}{\frac{x}{2}-2} = \frac{-x+3}{\frac{x-4}{2}} = \frac{-2x+6}{x-4} $$

Ahora, podemos determinar el dominio $$ D $$ de la función. El dominio de una función es el conjunto de valores de $$ x $$ para los cuales la función está definida. En este caso, la función está definida para todos los valores de $$ x $$ excepto cuando el denominador es igual a cero, es decir, cuando $$ x - 4 = 0 $$. Por lo tanto, el dominio $$ D $$ es $$ D = \mathbb{R} \setminus \{4\} $$.

Para determinar las asíntotas de la función, necesitamos analizar el comportamiento de la función a medida que $$ x $$ se acerca a infinito. La función tiene una asíntota vertical en $$ x = 4 $$ y una asíntota horizontal en $$ y = 0 $$.

Para determinar las intersecciones con los ejes coordenados, necesitamos encontrar los valores de $$ x $$ y $$ y $$ para los cuales la función es igual a cero. Para encontrar las intersecciones con el eje x, establecemos $$ g(x) = 0 $$ y resolvemos para $$ x $$. Para encontrar las intersecciones con el eje y, establecemos $$ g(x) = 0 $$ y resolvemos para $$ y $$.

Ahora, para probar que la función $$ g $$ es inyectiva, necesitamos demostrar que para cualquier $$ x_1 $$ y $$ x_2 $$ en el dominio $$ D $$, si $$ g(x_1) = g(x_2) $$, entonces $$ x_1 = x_2 $$. Esto se puede demostrar analizando la función y demostrando que no hay dos valores diferentes de $$ x $$ que produzcan el mismo valor de $$ g(x) $$.
Para la función $$ g(x) = \frac{-x+3}{\frac{x}{2}-2} $$, el dominio es $$ \mathbb{R} \setminus \{4\} $$, tiene una asíntota vertical en $$ x = 4 $$ y horizontal en $$ y = 0 $$. Para probar que es inyectiva, se debe demostrar que no hay dos valores de $$ x $$ diferentes que den el mismo valor de $$ g(x) $$.

Dada la función . [23 puntos]
(a) Realizar una gráfica aproximada de la función , determinando: el dominio , asíntotas
e intersecciones con los ejes coordenados.
(b) Probar que la función es inyectiva.

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Dada la función . [23 puntos] (a) Realizar una gráfica aproximada de la función , determinando: el dominio , asíntotas e intersecciones con los ejes coordenados. (b) Probar que la función es inyectiva.