El volumen del solido cuya base es la región limitada por \( y=x^{2} y=4 x \) y sus secciones transversales perpendiculares al eje \( x \) son cuadrados con un lado sobre la base es:

Para determinar el volumen del sólido cuya base está limitada por las curvas \( y = x^2 \) y \( y = 4x \), y con secciones transversales que son cuadrados con un lado sobre la base, seguimos los siguientes pasos: 1. **Encontrar los puntos de intersección:** \[ x^2 = 4x \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \text{ y } x = 4 \] Por lo tanto, la región base está entre \( x = 0 \) y \( x = 4 \). 2. **Determinar la longitud del lado del cuadrado en cada sección transversal:** Para un valor dado de \( x \) en el intervalo \([0, 4]\), la longitud del lado del cuadrado está dada por la diferencia entre las dos curvas: \[ \text{Lado} = 4x - x^2 \] 3. **Expresar el área de la sección transversal:** Dado que la sección transversal es un cuadrado, su área es: \[ \text{Área} = (4x - x^2)^2 \] 4. **Calcular el volumen mediante la integral:** \[ V = \int_{0}^{4} (4x - x^2)^2 \, dx \] Expandiendo el integrando: \[ (4x - x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 \] Entonces, la integral se convierte en: \[ V = \int_{0}^{4} (16x^2 - 8x^3 + x^4) \, dx \] Resolviendo la integral: \[ V = \left[ \frac{16x^3}{3} - 2x^4 + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{4} \] Evaluando en los límites: \[ V = \left( \frac{16 \cdot 64}{3} - 2 \cdot 256 + \frac{1024}{5} \right) - 0 = \frac{1024}{3} - 512 + \frac{1024}{5} \] Encontrando un denominador común (15): \[ V = \frac{5120}{15} - \frac{7680}{15} + \frac{3072}{15} = \frac{512}{15} \] Por lo tanto, el volumen del sólido es: \[ V = \frac{512}{15} \, \text{unidades cúbicas} \] **Respuesta Final:** El volumen es 512⁄15 unidades cúbicas.