7. Resuelve la ecuación utilizando el método de completando trimomio cuadrado perfo (Valor: 1pto.) \[ 2 x^{2}+5 x+2=0 \]

Para resolver la ecuación \(2x^2 + 5x + 2 = 0\) mediante el método de completar el trinomio cuadrado perfecto, primero dividimos toda la ecuación por 2 para simplificarla: \[ x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = 0. \] Ahora, llevamos el término constante al otro lado: \[ x^2 + \frac{5}{2}x = -1. \] Luego, tomamos la mitad del coeficiente de \(x\) (que es \(\frac{5}{2}\)), lo elevamos al cuadrado y sumamos ese valor en ambos lados de la ecuación: \[\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}. \] Esto nos da: \[ x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -1 + \frac{25}{16}. \] Simplificando el lado derecho: \[ x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{-16 + 25}{16} = \frac{9}{16}. \] Ahora podemos factorizar el lado izquierdo como un cuadrado: \[ \left(x + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}. \] Finalmente, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados: \[ x + \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}. \] Resolviendo para \(x\): 1. \(x + \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}. \) 2. \(x + \frac{5}{4} = -\frac{3}{4} \Rightarrow x = -\frac{3}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{8}{4} = -2. \) Por lo tanto, las soluciones son \(x = -\frac{1}{2}\) y \(x = -2\).