A2. Halla la solución x tal que \( x \geq 5 \) de la ecuación: \( \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 \) a) 2 b) 7 . c) 6 d) 8 e) Ninguno

Para resolver la ecuación \( \log _{2}(x+1) + \log _{2}(3x-5) = \log _{2}(5x-3) + 2 \), primero aplicamos la propiedad de los logaritmos que nos dice que \( \log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \cdot n) \). Así, podemos reescribir la izquierda como: \[ \log_2((x+1)(3x-5)) = \log_2(5x-3) + 2 \] Pasamos el 2 al lado izquierdo como \( \log_2(4) \): \[ \log_2((x+1)(3x-5)) = \log_2(4(5x-3)) \] Como tenemos logaritmos de la misma base, igualamos las expresiones dentro de los logaritmos: \[ (x+1)(3x-5) = 4(5x-3) \] Desarrollamos ambos lados: \[ 3x^2 - 5x + 3x - 5 = 20x - 12 \] Simplificamos: \[ 3x^2 - 2x - 5 = 20x - 12 \] Llevamos todos los términos a un lado: \[ 3x^2 - 22x + 7 = 0 \] Ahora resolveremos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): Con \( a = 3, b = -22, c = 7 \): \[ b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400 \] Así que, \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 \pm 20}{6} \] Esto resulta en dos posibles valores: 1. \( x = \frac{42}{6} = 7 \) 2. \( x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) Dado que buscamos \( x \geq 5 \), la solución válida es: **Respuesta: b) 7**.