39 Ginnastica Dopo aver compiuto qualche esercizio di ginnastica a terra, ti sdrai sulla schiena e sollevi una gamba ad angolo retto, mantenendola distesa. Se a questo punto lasci cadere liberamente la gamba fino a colpire il pavimento, come mostrato in figura, qual è velocità tangenziale del tuo piede appena prima di toccare terra? Assumi che la gamba possa essere considerata come un'asta uniforme lunga \( 0,95 \mathrm{~m} \), che fa liberamente perno attorno all'anca.

Per determinare la **velocità tangenziale** del tuo piede appena prima di toccare terra, possiamo utilizzare il principio di **conservazione dell'energia** meccanica. Ecco i passaggi dettagliati: ### Dati forniti: - **Lunghezza della gamba (asta uniforme)**: \( L = 0,95 \, \text{m} \) - **Accelerazione dovuta alla gravità**: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) ### Passaggi di Calcolo: 1. **Energia Potenziale Iniziale**: - Quando la gamba è in posizione verticale, l'altezza del centro di massa (a metà lunghezza dell'asta) è \( h = \frac{L}{2} \). - Energia potenziale iniziale: \( U_i = m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot \frac{L}{2} \) 2. **Energia Cinetica Finale**: - Quando la gamba raggiunge la posizione orizzontale, tutta l'energia potenziale si trasforma in energia cinetica rotazionale. - Momento di inerzia di un'asta uniforme attorno all'estremo: \( I = \frac{1}{3} m L^2 \) - Energia cinetica rotazionale: \( K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m L^2 \omega^2 = \frac{1}{6} m L^2 \omega^2 \) 3. **Conservazione dell'Energia**: \[ U_i = K_f \\ m \cdot g \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{6} m L^2 \omega^2 \] Semplificando per \( m \) e \( L \): \[ g \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} L \omega^2 \\ \omega^2 = \frac{3g}{L} \\ \omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} \] 4. **Velocità Tangenziale**: La velocità tangenziale \( v \) del piede è data da: \[ v = \omega L = L \cdot \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{3gL} \] 5. **Calcolo Numerico**: \[ v = \sqrt{3 \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,95 \, \text{m}} \\ v = \sqrt{27,9585} \approx 5,29 \, \text{m/s} \] ### Risultato Finale: La **velocità tangenziale** del tuo piede appena prima di toccare terra è approssimativamente **5,3 metri al secondo**.