\( y ^ { \prime \prime \prime } - 3 y ^ { \prime \prime } + 3 y ^ { \prime } - y = 0 \)

สมการที่ให้มา: \[ y''' - 3y'' + 3y' - y = 0 \] **ขั้นตอนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเวียนอันดับสามนี้มีดังนี้:** 1. **หาสมการเชิงลักษณะ (Characteristic Equation):** สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ สมการเชิงลักษณะจะได้จากการแทน \( y = e^{rt} \) ลงในสมการ ดังนี้: \[ r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0 \] 2. **หาผลลัพธ์รากของสมการเชิงลักษณะ:** เราเริ่มด้วยการหาว่ามีรากใดที่สามารถทำให้สมการเป็นจริงได้ง่าย ๆ ลองทดสอบ \( r = 1 \): \[ 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0 \] ดังนั้น \( r = 1 \) เป็นรากหนึ่งของสมการเชิงลักษณะ จากนั้น เราสามารถหาช่องว่างที่เหลือโดยการหารสมการด้วย \( (r - 1) \): \[ (r - 1)(r^2 - 2r + 1) = 0 \] สมการย่อย \( r^2 - 2r + 1 = 0 \) สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น: \[ (r - 1)^2 = 0 \] ดังนั้น รากทั้งหมดของสมการคือ \( r = 1 \) แบบซ้ำสองครั้ง 3. **เขียนคำตอบทั่วไปของสมการ:** เนื่องจากราก \( r = 1 \) ซ้ำสามครั้ง คำตอบทั่วไปของสมการจะเป็น: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2) e^{x} \] โดยที่ \( C_1, C_2, C_3 \) เป็นค่าคงที่ที่กำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้นหรือขอบเขตของปัญหา **สรุป:** คำตอบทั่วไปของสมการ \( y''' - 3y'' + 3y' - y = 0 \) คือ \[ y(x) = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2) e^{x} \] โดยที่ \( C_1, C_2, C_3 \) เป็นค่าคงที่ที่ต้องหาจากเงื่อนไขเพิ่มเติม