grupo de 7 pessoas? 28) Uma senha é composta por 4 algarismos distintos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas utilizando os algarismos de 0 a 9 ? 29) Quantos números de telefone distintos podem ser formados utilizando os algarismos de 0 a 9, considerando que o número deve ter 7 digitos? 30) De quantas maneiras diferentes é possível formar um comitê de 5 membros a partir de um grupo de 10 pessoas, sendo que duas dessas pessoas se recusam a trabalhar juntas? 31) Uma comissão de 4 membros deve ser formada a partir de um grupo de 10 pessoas. Quantas comissōes diferentes podem ser formadas? 32) Quantos números de quatro algarismos podem ser formados usando apenas os digitos 1 , 2 , 3,4 e 5 , de modo que nenhum algarismo se repita? 33) Uma senha de 6 digitos deve ser criada usando os algarismos de 0 a 9 , onde nenhum digito

Question

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Claro! Vamos resolver cada uma das questões apresentadas:

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**28) Uma senha é composta por 4 algarismos distintos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas utilizando os algarismos de 0 a 9?**

Para formar uma senha de 4 algarismos distintos usando os dígitos de 0 a 9:

- **Primeiro algarismo:** 10 opções (0 a 9)
- **Segundo algarismo:** 9 opções (excluindo o já escolhido)
- **Terceiro algarismo:** 8 opções
- **Quarto algarismo:** 7 opções

**Total de senhas possíveis:** 
$$ 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 $$

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**29) Quantos números de telefone distintos podem ser formados utilizando os algarismos de 0 a 9, considerando que o número deve ter 7 dígitos?**

Assumindo que números com dígitos repetidos são permitidos e que o primeiro dígito pode ser 0:

- **Cada um dos 7 dígitos:** 10 opções (0 a 9)

**Total de números de telefone possíveis:**
$$ 10^7 = 10.000.000 $$

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**30) De quantas maneiras diferentes é possível formar um comitê de 5 membros a partir de um grupo de 10 pessoas, sendo que duas dessas pessoas se recusam a trabalhar juntas?**

Vamos considerar:

- **Total de comitês sem restrição:** $$\binom{10}{5}$$
- **Comitês onde as duas pessoas conflitantes estão juntas:** $$\binom{8}{3}$$ (já que duas vagas estão ocupadas pelas pessoas que não querem trabalhar juntas, restando 3 vagas para as outras 8 pessoas)

**Total de comitês válidos:**
$$ \binom{10}{5} - \binom{8}{3} = 252 - 56 = 196 $$

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**31) Uma comissão de 4 membros deve ser formada a partir de um grupo de 10 pessoas. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?**

Número de maneiras de escolher 4 pessoas dentre 10:

$$ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210 $$

**Total de comissões possíveis:** 210

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**32) Quantos números de quatro algarismos podem ser formados usando apenas os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que nenhum algarismo se repita?**

Para formar um número de 4 algarismos sem repetição usando 5 dígitos:

- **Primeiro algarismo:** 5 opções
- **Segundo algarismo:** 4 opções
- **Terceiro algarismo:** 3 opções
- **Quarto algarismo:** 2 opções

**Total de números possíveis:**
$$ 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 $$

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**33) Uma senha de 6 dígitos deve ser criada usando os algarismos de 0 a 9, onde nenhum dígito se repete. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?**

Para formar uma senha de 6 dígitos distintos:

- **Primeiro dígito:** 10 opções
- **Segundo dígito:** 9 opções
- **Terceiro dígito:** 8 opções
- **Quarto dígito:** 7 opções
- **Quinto dígito:** 6 opções
- **Sexto dígito:** 5 opções

**Total de senhas possíveis:**
$$ 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151.200 $$

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Se precisar de mais esclarecimentos ou ajuda com outras questões, fique à vontade para perguntar!
**Respostas às Questões:** 28) **5.040** senhas diferentes podem ser criadas. 29) **10.000.000** números de telefone distintos podem ser formados. 30) **196** maneiras diferentes para formar o comitê. 31) **210** comissões diferentes podem ser formadas. 32) **120** números de quatro algarismos podem ser formados. 33) **151.200** senhas de 6 dígitos diferentes podem ser criadas. Se precisar de mais ajuda, fique à vontade para perguntar!

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