$$ \vec{u}\left(\begin{array}{c}1 \ 2 \ -1\end{array}\right), \vec{v}\left(\begin{array}{c}1 \ -2 \ 1\end{array}\right) \text { et } \vec{w}\left(\begin{array}{c}0 \ -6 \ 3\end{array}\right) \text {. } $$ 1. Justifier que le vecteur $$ \vec{w} $$ n'est pas colinéaire au vecteur $$ \vec{v}+\vec{u} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour montrer que le vecteur $$ \vec{w} $$ n'est pas colinéaire au vecteur $$ \vec{v} + \vec{u} $$, procédons étape par étape.

1. **Calcul de $$ \vec{v} + \vec{u} $$ :**
   $$
   \vec{v} + \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 \ -2+2 \ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}
   $$

2. **Définition de la colinéarité :**
   Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un scalaire $$ \lambda $$ tel que :
   $$
   \vec{w} = \lambda (\vec{v} + \vec{u})
   $$

3. **Recherche du scalaire $$ \lambda $$ :**
   $$
   \vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \ -6 \ 3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{v} + \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}
   $$
   Donc, nous avons les équations suivantes pour chaque composante :
   $$
   0 = 2\lambda \quad (1)
   $$
   $$
   -6 = 0\lambda \quad (2)
   $$
   $$
   3 = 0\lambda \quad (3)
   $$
   
4. **Résolution des équations :**
   - De l'équation (1) : $$ \lambda = 0 $$
   - De l'équation (2) : $$ -6 = 0 \times 0 = 0 $$, ce qui est impossible.
   - De l'équation (3) : $$ 3 = 0 \times 0 = 0 $$, ce qui est également impossible.

5. **Conclusion :**
   Comme il n'existe aucun scalaire $$ \lambda $$ qui satisfait toutes les équations simultanément, les vecteurs $$ \vec{w} $$ et $$ \vec{v} + \vec{u} $$ ne sont pas colinéaires.

Ainsi, **le vecteur $$ \vec{w} $$ n'est pas colinéaire au vecteur $$ \vec{v} + \vec{u} $$**.
Le vecteur $$ \vec{w} $$ n'est pas colinéaire au vecteur $$ \vec{v} + \vec{u} $$ car il n'existe aucun scalaire $$ \lambda $$ qui permette $$ \vec{w} = \lambda (\vec{v} + \vec{u}) $$.

Justifier que le vecteur n’est pas colinéaire au
vecteur .

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