3. $$ |\sin x|=\sin x \cos x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим уравнение:

$$
|\sin x| = \sin x \cos x
$$

**Шаг 1: Рассмотрим два случая в зависимости от знака $$\sin x$$.**

---

**Случай 1: $$\sin x \geq 0$$**

Тогда модуль можно убрать без изменения знака:

$$
\sin x = \sin x \cos x
$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$
\sin x - \sin x \cos x = 0 \
\sin x (1 - \cos x) = 0
$$

Получаем два уравнения:

1. $$\sin x = 0$$  
   Решения:  
   $$
   x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
   $$

2. $$\cos x = 1$$  
   Решения:  
   $$
   x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
   $$

Однако, поскольку мы рассматриваем случай $$\sin x \geq 0$$, решения $$\cos x = 1$$ уже включены в $$\sin x = 0$$ при $$x = 2n\pi$$.

---

**Случай 2: $$\sin x < 0$$**

Тогда модуль принимает противоположный знак:

$$
-\sin x = \sin x \cos x
$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$
-\sin x - \sin x \cos x = 0 \
-\sin x (1 + \cos x) = 0
$$

Получаем два уравнения:

1. $$\sin x = 0$$  
   Решения:  
   $$
   x = n\pi, \quad n \in \mathbb{З}
   $$
   Но поскольку $$\sin x < 0$$, допустимы только $$x = (2n+1)\pi$$.

2. $$\cos x = -1$$  
   Решения:  
   $$
   x = (2n+1)\pi, \quad n \in \mathbb{З}
   $$

---

**Объединяя оба случая, получаем общее решение:**

$$
x = n\pi, \quad n \in \mathbb{З}
$$

**Проверка:**

Подставим $$x = n\pi$$:

$$
|\sin(n\pi)| = 0 \
\sin(n\pi) \cos(n\pi) = 0 \cdot (\pm1) = 0
$$

Уравнение выполняется для всех целых $$n$$.

**Ответ:**

Все решения уравнения имеют вид $$x = n\pi$$, где $$n$$ — целое число.
Все решения уравнения $$ |\sin x| = \sin x \cos x $$ имеют вид $$ x = n\pi $$, где $$ n $$ — целое число.

3. \( |\sin x|=\sin x \cos x \)

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Trigonometry Questions