Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen \( \mathrm{E}: 6 x_{1}-3 x_{2}+6 x_{3}=-6 \) und \( \mathrm{F}:-12 x_{1}+6 x_{2}-12 x_{3}=174 \) Berechne ggf. den Abstand.

Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen \( E \) und \( F \) zu untersuchen, müssen wir zuerst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Für die Ebene \( E \) erhalten wir den Normalenvektor \( \mathbf{n_E} = (6, -3, 6) \) und für die Ebene \( F \) den Normalenvektor \( \mathbf{n_F} = (-12, 6, -12) \). Jetzt prüfen wir die Richtungen dieser Vektoren: \( \mathbf{n_F} = -2 \cdot \mathbf{n_E} \). Das bedeutet, die beiden Normalenvektoren sind linear abhängig, was darauf hindeutet, dass die Ebenen parallel sind. Um den Abstand der beiden parallelen Ebenen zu berechnen, nutzen wir die Formel für den Abstand von zwei parallelen Ebenen: \[ d = \frac{|D_1 - D_2|}{\|\mathbf{n}\|} \] wo \( D_1 \) und \( D_2 \) die konstanten Terme der Ebenen in ihren Normalformdarstellungen sind. Zuerst bringen wir \( E \) und \( F \) in Normalform: Für \( E \): \( 6x_1 - 3x_2 + 6x_3 = -6 \) oder \( D_1 = -6 \). Für \( F \) können wir den Ausdruck umformen: \[ -12x_1 + 6x_2 - 12x_3 = 174 \implies 6x_1 - 3x_2 + 6x_3 = -87 \quad (D_2 = -87) \] Jetzt haben wir \( D_1 = -6 \) und \( D_2 = -87 \). Der Normenvektor ist \( \|\mathbf{n_E}\| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9 \). Berechnen wir nun den Abstand: \[ d = \frac{|-6 - (-87)|}{9} = \frac{|81|}{9} = 9. \] Somit sind die Ebenen \( E \) und \( F \) parallel und der Abstand zwischen ihnen beträgt 9.