$$ 2 \log ( x + 1 ) \leq \log _ { \frac { 1 } { 4 } } x - 1 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver a desigualdade $$ 2 \log ( x + 1 ) \leq \log _ { \frac { 1 } { 4 } } x - 1 $$, vamos seguir os passos abaixo.

Primeiro, vamos reescrever o logaritmo na base $$ \frac{1}{4} $$. Sabemos que:

$$
\log_{\frac{1}{4}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{4}} = \frac{\log_2 x}{-2} = -\frac{1}{2} \log_2 x
$$

Assim, a desigualdade se torna:

$$
2 \log (x + 1) \leq -\frac{1}{2} \log_2 x - 1
$$

Multiplicando toda a desigualdade por $$-2$$ (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):

$$
-4 \log (x + 1) \geq \log_2 x + 2
$$

Agora, vamos reescrever $$ -4 \log (x + 1) $$ como $$ \log ( (x + 1)^{-4} ) $$:

$$
\log ( (x + 1)^{-4} ) \geq \log_2 x + 2
$$

Para simplificar, vamos reescrever $$ 2 $$ como $$ \log_2 4 $$:

$$
\log ( (x + 1)^{-4} ) \geq \log_2 x + \log_2 4
$$

Assim, podemos combinar os logaritmos do lado direito:

$$
\log ( (x + 1)^{-4} ) \geq \log_2 (4x)
$$

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que se $$ \log_a b \geq \log_a c $$, então $$ b \geq c $$ (desde que $$ a > 1 $$). Portanto, temos:

$$
(x + 1)^{-4} \geq 4x
$$

Invertendo a desigualdade (porque estamos lidando com potências negativas):

$$
4x \leq (x + 1)^{-4}
$$

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $$ (x + 1)^4 $$ (que é positivo para $$ x > -1 $$):

$$
4x (x + 1)^4 \leq 1
$$

Agora, precisamos resolver essa desigualdade. Vamos expandir $$ (x + 1)^4 $$:

$$
(x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
$$

Portanto, a desigualdade se torna:

$$
4x (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \leq 1
$$

Essa é uma desigualdade polinomial que pode ser complexa para resolver diretamente. Uma abordagem seria analisar os valores de $$ x $$ que satisfazem essa condição, possivelmente utilizando métodos numéricos ou gráficos.

Por fim, não se esqueça de considerar o domínio da função logarítmica, que exige que $$ x > 0 $$ e $$ x + 1 > 0 $$.

Assim, a solução final deve ser verificada dentro do intervalo $$ x > 0 $$.
Para resolver a desigualdade $$ 2 \log ( x + 1 ) \leq \log _ { \frac { 1 } { 4 } } x - 1 $$, reescreva o logaritmo na base $$ \frac{1}{4} $$, multiplique por $$-2$$ e use a propriedade dos logaritmos para obter $$ (x + 1)^{-4} \geq 4x $$. Multiplicando por $$ (x + 1)^4 $$ e expandindo, a desigualdade se torna $$ 4x (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \leq 1 $$. Verifique a solução no intervalo $$ x > 0 $$.

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