. Fie \( V \) un spaţiu vectorial de dimensiune 3 peste un corp \( K \) şi \( B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \) o bază în \( V \). Fie \( B^{*}=\left\{v^{1}, v^{2}, v^{3}\right\} \) baza duală, \( x=5 v_{1}+v_{2}-4 v_{3}, y=v_{1}+6 v_{3} \) şi forma liniară \( F=3 v^{1}+v^{2}+v^{3} \). Să se calculeze \( F(2 x-y) \)

Pentru a calcula \( F(2x - y) \), trebuie mai întâi să determinăm expresia lui \( 2x - y \). Avem: \[ x = 5v_{1} + v_{2} - 4v_{3}, \] deci: \[ 2x = 2(5v_{1} + v_{2} - 4v_{3}) = 10v_{1} + 2v_{2} - 8v_{3}. \] Acum, să scriem \( y \): \[ y = v_{1} + 6v_{3}. \] Acum putem calcula \( 2x - y \): \[ 2x - y = (10v_{1} + 2v_{2} - 8v_{3}) - (v_{1} + 6v_{3}) = 10v_{1} - v_{1} + 2v_{2} - 8v_{3} - 6v_{3} = 9v_{1} + 2v_{2} - 14v_{3}. \] Acum, aplicăm forma liniară \( F \) asupra acestui vector: \[ F = 3v^{1} + v^{2} + v^{3}. \] Deci trebuie să calculăm: \[ F(2x - y) = F(9v_{1} + 2v_{2} - 14v_{3}) = 9F(v_{1}) + 2F(v_{2}) - 14F(v_{3}). \] Deoarece \( F(v^{1}) = 3 \), \( F(v^{2}) = 1 \) și \( F(v^{3}) = 1 \), avem: \[ F(v_{1}) = 3, \quad F(v_{2}) = 1, \quad F(v_{3}) = 1. \] Astfel: \[ F(2x - y) = 9(3) + 2(1) - 14(1) = 27 + 2 - 14 = 27 + 2 - 14 = 15. \] Deci, \( F(2x - y) = 15 \).