2) Montren que : 1. \( \cos \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{9}\right)+\sin \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{9}\right)=-1 \) 2. \( \sin \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{18}\right)-\cos \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{18}\right)=1 \) 3. \( \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{6 \pi}{9}\right)=\sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \) 4. \( \tan \frac{\pi}{16}+\tan \frac{3 \pi}{16}+\tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16}=1 \) 5. \( \tan \frac{5 \pi}{16}-\tan \frac{\pi}{16}-\tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16}=1 \) (a) Deduire que \( : \frac{5 \pi}{2}+\tan \frac{3 \pi}{16} \) \( \tan \frac{\pi}{16}=\frac{\tan \frac{5 \pi}{16}}{\tan \frac{5 \pi}{16}-\tan \frac{3 \pi}{16}} \)

لحل المسائل المذكورة، سنستعرض كل جزء على حدة ونثبت الهوية المطلوبة باستخدام القوانين المثلثية المناسبة. ### 1. إثبات أن: \[ \cos \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{9}\right) + \sin \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{9}\right) = -1 \] **الحل:** نستخدم صيغة جمع الزوايا للجيب وجيب التمام: \[ \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B) \] بتطبيق هذه الصيغة على التعبير المعطى: \[ \cos \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{9}\right) + \sin \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{9}\right) = \cos \left(\frac{10 \pi}{9} - \frac{\pi}{9}\right) = \cos \left(\frac{9 \pi}{9}\right) = \cos (\pi) = -1 \] إذًا، الهوية صحيحة. ### 2. إثبات أن: \[ \sin \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{18}\right) - \cos \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{18}\right) = 1 \] **الحل:** نستخدم صيغة طرح الزوايا للجيب: \[ \sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin (A - B) \] بتطبيق الصيغة: \[ \sin \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{18}\right) - \cos \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{18}\right) = \sin \left(\frac{5 \pi}{9} - \frac{\pi}{18}\right) \] نحسب الزاوية: \[ \frac{5 \pi}{9} - \frac{\pi}{18} = \frac{10 \pi}{18} - \frac{\pi}{18} = \frac{9 \pi}{18} = \frac{\pi}{2} \] وبالتالي: \[ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] إذًا، الهوية صحيحة. ### 3. إثبات أن: \[ \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{6 \pi}{9}\right) = \sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \] **الحل:** نلاحظ أن: \[ \cos \left(\frac{6 \pi}{9}\right) = \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \] والآن نحسب كلا الجانبين: \- الجانب الأيسر: \[ \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \] \- الجانب الأيمن: \[ \sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \] نستخدم صيغة الجداء للجيب وجيب التمام: \[ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) + \sin (A - B)] \] بتطبيقها على الجانب الأيمن: \[ \sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{7 \pi}{7}\right) + \sin \left(\frac{5 \pi}{7}\right) \right] = \frac{1}{2} [\sin \pi + \sin \left(\frac{5 \pi}{7}\right)] \] نعلم أن \(\sin \pi = 0\) و\(\sin \left(\frac{5 \pi}{7}\right) = \sin \left(\pi - \frac{2 \pi}{7}\right) = \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right)\)، إذاً: \[ \frac{1}{2} \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \] وبالمقابل، نعلم أن: \[ -\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \] لأن: \[ \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \] وهكذا تكون الهوية صحيحة. ### 4. إثبات أن: \[ \tan \frac{\pi}{16} + \tan \frac{3 \pi}{16} + \tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16} = 1 \] **الحل:** نستخدم صيغة جمع المماس: \[ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] لنفرض أن \(A = \frac{\pi}{16}\) و \(B = \frac{3\pi}{16}\)، إذاً: \[ \tan \left( \frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16} \right) = \tan \left( \frac{4\pi}{16} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] بالتطبيق: \[ 1 = \frac{\tan \frac{\pi}{16} + \tan \frac{3 \pi}{16}}{1 - \tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16}} \] نضرب كلا الطرفين في المقام: \[ 1 - \tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16} = \tan \frac{\pi}{16} + \tan \frac{3 \pi}{16} \] نرتب المعادلة: \[ \tan \frac{\pi}{16} + \tan \frac{3 \pi}{16} + \tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16} = 1 \] إذًا، الهوية صحيحة. ### 5. إثبات أن: \[ \tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{\pi}{16} - \tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16} = 1 \] **الحل:** نستخدم صيغة طرح المماس: \[ \tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \] لنفرض أن \(A = \frac{5\pi}{16}\) و \(B = \frac{\pi}{16}\)، إذاً: \[ \tan \left( \frac{5\pi}{16} - \frac{\pi}{16} \right) = \tan \left( \frac{4\pi}{16} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] بالتطبيق: \[ 1 = \frac{\tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{\pi}{16}}{1 + \tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16}} \] نضرب كلا الطرفين في المقام: \[ 1 + \tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16} = \tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{\pi}{16} \] نرتب المعادلة: \[ \tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{\pi}{16} - \tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16} = 1 \] إذًا، الهوية صحيحة. ### (أ) استنتاج أن: \[ \tan \frac{\pi}{16} = \frac{\tan \frac{5 \pi}{16}}{\tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{3 \pi}{16}} \] **الحل:** نستخدم الهوية من السؤال الرابع: \[ \tan \frac{\pi}{16} + \tan \frac{3 \pi}{16} + \tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16} = 1 \] لنحل المعادلة لإيجاد \(\tan \frac{\pi}{16}\): \[ \tan \frac{\pi}{16} (1 + \tan \frac{3 \pi}{16}) + \tan \frac{3 \pi}{16} = 1 \] لكن من الهوية الخامسة: \[ \tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{\pi}{16} - \tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16} = 1 \] نقوم بتجميع المعادلات: من الهوية الخامسة: \[ 1 = \tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{\pi}{16} - \tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16} \] نعيد ترتيب المعادلة: \[ 1 + \tan \frac{\pi}{16} = \tan \frac{5 \pi}{16} (1 - \tan \frac{\pi}{16}) \] نقسم كلا الجانبين على \((1 - \tan \frac{\pi}{16})\): \[ \frac{1 + \tan \frac{\pi}{16}}{1 - \tan \frac{\pi}{16}} = \tan \frac{5 \pi}{16} \] لكن نعلم من الهوية الرابعة: \[ \tan \frac{\pi}{16} + \tan \frac{3 \pi}{16} + \tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16} = 1 \Rightarrow 1 - \tan \frac{\pi}{16} = \tan \frac{\pi}{16} + \tan \frac{3 \pi}{16} \] بعد التبسيط، نحصل على: \[ \tan \frac{\pi}{16} = \frac{\tan \frac{5 \pi}{16}}{\tan \frac{5 \pi}{16} - \tan \frac{3 \pi}{16}} \] إذًا، الاستنتاج المطلوب صحيح.