Esercizio 1. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy \[ \begin{aligned} y^{\prime}+\frac{1}{x} y & =\exp \left(2 x^{2}\right) \\ y(1) & =\frac{1}{6}\end{aligned} \] [Punteggio: 5 punti]

Per risolvere il problema di Cauchy dato: \[ \begin{aligned} y' + \frac{1}{x} y &= e^{2x^{2}} \\ y(1) &= \frac{1}{6} \end{aligned} \] seguiamo i passaggi per equazioni lineari del primo ordine. 1. **Fattore Integrante**: Calcoliamo il fattore integrante \(\mu(x)\): \[ \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x \] 2. **Moltiplichiamo l'equazione per \(\mu(x)\)**: \[ x y' + y = x e^{2x^{2}} \] Il lato sinistro diventa la derivata del prodotto \(x y\): \[ \frac{d}{dx}(x y) = x e^{2x^{2}} \] 3. **Integrazione**: Integrando entrambi i lati: \[ x y = \int x e^{2x^{2}} dx + C \] Poniamo \(u = 2x^{2}\), quindi \(du = 4x dx\) e: \[ \int x e^{2x^{2}} dx = \frac{1}{4} e^{2x^{2}} + C \] Pertanto: \[ y = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{C}{x} \] 4. **Condizione Iniziale**: Applichiamo \(y(1) = \frac{1}{6}\): \[ \frac{1}{6} = \frac{e^{2}}{4} + C \] Risolvendo per \(C\): \[ C = \frac{1}{6} - \frac{e^{2}}{4} \] 5. **Soluzione Finale**: Pertanto, la soluzione del problema di Cauchy è: \[ y(x) = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{1}{6x} - \frac{e^{2}}{4x} \] **Risposta Finale**: La soluzione è uguale a (e²ˣ²)/(4 x) più (1⁄6 – e²⁄4) diviso x. In formule, y(x) = e^{2x²}/(4x) + (1/6 − e²/4)/x