Pregunta
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Soit une suite numérique définie par:
  1. a- Montrer que
    b- Etudier la monotonie de la suite .
  2. a- Montrer que .
    b- En déduire que :

Ask by Parry Hamilton. in Morocco
Dec 15,2024

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  1. a- Pour démontrer que , nous allons utiliser l’induction. Pour , donc c’est vrai pour . Supposons que cela soit vrai pour , c’est-à-dire . Alors, pour :
  • Pour la borne inférieure: sachant que , on a . Cette valeur est respectée.
  • Pour la borne supérieure: sachant que , on a . Donc .
Ainsi, par induction, pour tout .
b- Pour étudier la monotonie de la suite , on examine la différence :
Posons . On peut étudier le signe de sur l’intervalle . À l’extrémité :
À l’extrémité :
La dérivée doit être analysée sur . Pour , et pour , . Impliquant que décroît. Donc, si est au-dessus de 2, cela doit signifier que demeure constant ou décroît.
  1. a- Pour montrer que :
On commence par , donc .
Examinons :
Cela implique , ce qui donne . Ainsi cela se vérifie si est compris entre 2 et 4, ce qui prouve l’énoncé.
b- En déduire que :
On sait que . Par la relation , on peut itérer en posant .
On a , et donc par récurrence, , d’où est borné par ( \left(\

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