Pregunta
Soit
une suite numérique définie par:
- a- Montrer que
b- Etudier la monotonie de la suite
.
- a- Montrer que
.
b- En déduire que :
b- Etudier la monotonie de la suite
b- En déduire que :
Ask by Parry Hamilton. in Morocco
Dec 15,2024
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
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Solución

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Como
Mind Expander
- a- Pour démontrer que
, nous allons utiliser l’induction. Pour , donc c’est vrai pour . Supposons que cela soit vrai pour , c’est-à-dire . Alors, pour :
-
Pour la borne inférieure: sachant que
, on a . Cette valeur est respectée. -
Pour la borne supérieure: sachant que
, on a . Donc .
Ainsi, par induction,
pour tout
.
b- Pour étudier la monotonie de la suite
, on examine la différence :
Posons
. On peut étudier le signe de
sur l’intervalle
. À l’extrémité
:
À l’extrémité
:
La dérivée
doit être analysée sur
. Pour
,
et pour
,
. Impliquant que
décroît. Donc, si
est au-dessus de 2, cela doit signifier que
demeure constant ou décroît.
- a- Pour montrer que
:
On commence par
, donc
.
Examinons
:
Cela implique
, ce qui donne
. Ainsi cela se vérifie si
est compris entre 2 et 4, ce qui prouve l’énoncé.
b- En déduire que
:
On sait que . Par la relation
, on peut itérer en posant
.
On sait que
On a
, et donc par récurrence,
, d’où
est borné par ( \left(\

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