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Question Given that the polynomial \( f(x) \) has degree 9 , which of the following most accurately describes the number of turning points of \( f(x) \) ? Select the correct answer below. The graph of \( f(x) \) has at most 10 turning points. The graph of \( f(x) \) has at most 9 turning points. The graph of \( f(x) \) has at most 8 turning points. The graph of \( f(x) \) has at least 8 turning points. The graph of \( f(x) \) has at least 10 turning points. The graph of \( f(x) \) has at least 9 turning points.

Ask by Ramos Ruiz. in the United States
Jan 24,2025

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The graph of \( f(x) \) has at most 8 turning points.

Solución

To determine the number of turning points of a polynomial function \( f(x) \) of degree \( n \), we can use the following rule: - A polynomial of degree \( n \) can have at most \( n - 1 \) turning points. Given that the polynomial \( f(x) \) has a degree of 9, we can calculate the maximum number of turning points: \[ \text{Maximum turning points} = n - 1 = 9 - 1 = 8 \] Now, let's analyze the options provided: 1. The graph of \( f(x) \) has at most 10 turning points. (Incorrect, as it can have at most 8 turning points) 2. The graph of \( f(x) \) has at most 9 turning points. (Incorrect, as it can have at most 8 turning points) 3. The graph of \( f(x) \) has at most 8 turning points. (Correct) 4. The graph of \( f(x) \) has at least 8 turning points. (Incorrect, as it can have fewer than 8 turning points) 5. The graph of \( f(x) \) has at least 10 turning points. (Incorrect) 6. The graph of \( f(x) \) has at least 9 turning points. (Incorrect) Thus, the most accurate description of the number of turning points of \( f(x) \) is: **The graph of \( f(x) \) has at most 8 turning points.**

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The graph of a polynomial has turning points where it changes direction, and the maximum number of turning points is one less than the degree of the polynomial. Since \( f(x) \) has a degree of 9, it can have at most 8 turning points. This means the correct answer is that the graph of \( f(x) \) has at most 8 turning points. Feeling curious? The maximum number of turning points can show us a lot about the behavior of polynomials. For a degree 9 polynomial, you have the potential for a variety of wavy paths through the x-y plane—maybe a roller coaster ride with several ups and downs! So the more the degree, the more exciting, right?

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