01 Un'urna \( A \) contiene 2 palline bianche, 4 nere e 2 gialle, e un'urna \( B \) ne contiene 3 bianche e 5 nere. Estrai a caso una pallina da \( A \) e una da \( B \). Calcola la probabilità di estrarre palline: \( \begin{array}{ll}\text { a. dello stesso colore. } \\ \text { b. di colore diverso. } \\ \text { c. entrambe nere. } & \left.\text { (a) } \frac{13}{32} \text {; b) } \frac{19}{32} \text {; c) } \frac{5}{16}\right]\end{array} \)

Certamente, esaminiamo passo per passo il problema e verifichiamo le soluzioni fornite. **Dati:** - **Urna \( A \):** - Palline bianche: 2 - Palline nere: 4 - Palline gialle: 2 - Totale palline: \( 2 + 4 + 2 = 8 \) - **Urna \( B \):** - Palline bianche: 3 - Palline nere: 5 - Totale palline: \( 3 + 5 = 8 \) **Obiettivo:** Estrarre una pallina da ciascuna urna e calcolare le probabilità richieste. --- ### a. Probabilità di estrarre palline dello stesso colore Per avere palline dello stesso colore, possiamo avere due scenari: 1. **Entrambe bianche** 2. **Entrambe nere** 3. **Entrambe gialle** (ma poiché l'urna \( B \) non contiene palline gialle, questo scenario ha probabilità zero) Calcoliamo ciascuna probabilità: 1. **Entrambe bianche:** \[ P(\text{bianca da } A) \times P(\text{bianca da } B) = \frac{2}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{64} \] 2. **Entrambe nere:** \[ P(\text{nera da } A) \times P(\text{nera da } B) = \frac{4}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{20}{64} \] 3. **Entrambe gialle:** \[ P(\text{gialla da } A) \times P(\text{gialla da } B) = \frac{2}{8} \times 0 = 0 \] **Sommiamo le probabilità valide:** \[ \frac{6}{64} + \frac{20}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32} \] **Quindi, la probabilità di estrarre palline dello stesso colore è \( \frac{13}{32} \).** --- ### b. Probabilità di estrarre palline di colore diverso La probabilità di estrarre palline di colore diverso è complementare a quella di estrarre palline dello stesso colore. Quindi: \[ P(\text{diversi}) = 1 - P(\text{stesso colore}) = 1 - \frac{13}{32} = \frac{19}{32} \] **Quindi, la probabilità di estrarre palline di colore diverso è \( \frac{19}{32} \).** --- ### c. Probabilità di estrarre entrambe nere Abbiamo già calcolato questa probabilità nel punto a: \[ P(\text{entrambi neri}) = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} \] **Quindi, la probabilità di estrarre entrambe le palline nere è \( \frac{5}{16} \).** --- **Riassunto delle soluzioni:** - **a.** \( \frac{13}{32} \) - **b.** \( \frac{19}{32} \) - **c.** \( \frac{5}{16} \) Le soluzioni fornite sono corrette.