20. Сторона основи правильної \( \quad \) * 2 балла чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом \( 60^{\circ} \). Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

Для початку знайдемо площу основи правильної чотирикутної піраміди. Оскільки вона квадратна із стороною 3 см, площа буде: \[ S_{\text{основи}} = a^2 = 3^2 = 9 \, \text{см}^2. \] Тепер потрібно знайти висоту бічної грані. Знаючи, що грані нахилені під кутом 60°, можна використати тригонометрію. Давайте розглянемо трикутник, утворений висотою бічної грані, половиною сторони основи (1.5 см) та бічною гранню. З формули для косинуса: \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{x}{h}, \] де \( x = 1.5 \, \text{см} \), \( h \) - висота бічної грані. З цього випливає: \[ h = \frac{x}{\cos(60^{\circ})} = \frac{1.5}{0.5} = 3 \, \text{см}. \] Тепер знайдемо площу бічної поверхні. Для чотирикутної піраміди вона формується з 4 трикутників з основою 3 см та висотою 3 см. Площа одного трикутника дорівнює: \[ S_{\text{трикутника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \, \text{см}^2. \] Отже, площа всіх чотирьох трикутників: \[ S_{\text{бічної}} = 4 \cdot 4.5 = 18 \, \text{см}^2. \] Тепер можемо знайти площу повної поверхні: \[ S_{\text{повна}} = S_{\text{основи}} + S_{\text{бічної}} = 9 + 18 = 27 \, \text{см}^2. \] Отже, площа повної поверхні піраміди дорівнює \( 27 \, \text{см}^2 \).