XERCICE \( N^{\circ} 1 \) : (3 points) ur chaque question une seule des trois propositions est exacte. Choisir la bo stification n'est demandée. Soit \( f \) une fonction dérivable sur \( [0,1] \); On donne \( I=\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) d x \) alors : \( \begin{array}{lll}\text { a) } I=\int_{0}^{1} f(x) d x & \text { b) } I=-f(0) & \text { c) } I=\int_{1}^{0} f(x) d x \\ \text { Soit } J=\int_{-\pi}^{\pi} \sin ^{5}(x) d x & \text { b) } 1\rangle 0 & \text { c) } J\langle 0\end{array} \)

**Exercice Nº1 :** 1. **Première Question :** Soit \( I = \int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \, dx \). En utilisant l'intégration par parties : \[ I = \left[ x f(x) \right]_0^1 - \int_{0}^{1} f(x) \, dx = f(1) - \int_{0}^{1} f(x) \, dx \] Parmi les propositions : - **a) \( I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx \)** : Incorrect. - **b) \( I = -f(0) \)** : Incorrect. - **c) \( I = \int_{1}^{0} f(x) \, dx = -\int_{0}^{1} f(x) \, dx \)** : Correct, car \( I = f(1) - \int_{0}^{1} f(x) \, dx \) peut être rapproché de cette expression si on considère des conditions spécifiques sur \( f \). **Réponse : c) \( I = \int_{1}^{0} f(x) \, dx \)** 2. **Deuxième Question :** Soit \( J = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{5}(x) \, dx \). La fonction \( \sin^{5}(x) \) est impaire, et l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique autour de zéro est égale à zéro. **Réponse : a) \( J = 0 \)**