1. Sea $$ \mathbf{r}=4 \mathbf{i}+\mathbf{j} $$ y sea $$ \mathbf{s}=-\mathbf{i}+4 \mathbf{j} $$. Calcular la medida del angulo que forman (a) $$ \begin{array}{l}90^{\circ} \ ext { (b) Determinar si } \mathbf{r} ext { y } \mathbf{s} ext { son paralelos, } \ ext { ortogonales, o ninguno de los dos. } \ ext { paralelos } \ ext { ortogonales } \ ext { no son ni paralelos ni ortogonales }\end{array} $$

Question

1. Sea $$ \mathbf{r}=4 \mathbf{i}+\mathbf{j} $$ y sea $$ \mathbf{s}=-\mathbf{i}+4 \mathbf{j} $$. Calcular la medida del angulo que forman (a) $$ \begin{array}{l}90^{\circ} \ 	ext { (b) Determinar si } \mathbf{r} 	ext { y } \mathbf{s} 	ext { son paralelos, } \ 	ext { ortogonales, o ninguno de los dos. } \ 	ext { paralelos } \ 	ext { ortogonales } \ 	ext { no son ni paralelos ni ortogonales }\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

(a) **Cálculo del ángulo entre los vectores $$\mathbf{r}$$ y $$\mathbf{s}$$:**

Para determinar el ángulo $$\theta$$ que forman los vectores $$\mathbf{r} = 4\mathbf{i} + \mathbf{j}$$ y $$\mathbf{s} = -\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$$, utilizamos la fórmula del producto punto:

$$
\cos\theta = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{s}}{||\mathbf{r}|| \cdot ||\mathbf{s}||}
$$

**Paso 1: Calcular el producto punto $$\mathbf{r} \cdot \mathbf{s}$$:**

$$
\mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = (4)(-1) + (1)(4) = -4 + 4 = 0
$$

**Paso 2: Calcular las normas de $$\mathbf{r}$$ y $$\mathbf{s}$$:**

$$
||\mathbf{r}|| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
$$

$$
||\mathbf{s}|| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
$$

**Paso 3: Sustituir en la fórmula del coseno:**

$$
\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{0}{17} = 0
$$

**Paso 4: Determinar el ángulo $$\theta$$:**

$$
\cos\theta = 0 \implies \theta = 90^\circ
$$

Por lo tanto, el ángulo que forman los vectores $$\mathbf{r}$$ y $$\mathbf{s}$$ es de **90 grados**.

---

(b) **Determinación de la relación entre los vectores $$\mathbf{r}$$ y $$\mathbf{s}$$:**

- **Vectores Paralelos:** Dos vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro. Es decir, existe un escalar $$k$$ tal que $$\mathbf{r} = k\mathbf{s}$$.

Verificando:

$$
  \mathbf{r} = 4\mathbf{i} + \mathbf{j} \quad \text{y} \quad \mathbf{s} = -\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
  $$

No existe un escalar $$k$$ que satisfaga ambas componentes simultáneamente. Por lo tanto, **no son paralelos**.

- **Vectores Ortogonales:** Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero.

Como ya calculamos en la parte (a):

$$
  \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = 0
  $$

Esto implica que los vectores **son ortogonales**.

- **Conclusión:** Los vectores $$\mathbf{r}$$ y $$\mathbf{s}$$ **son ortogonales**.
(a) El ángulo entre los vectores $$\mathbf{r}$$ y $$\mathbf{s}$$ es de **90 grados**. (b) Los vectores $$\mathbf{r}$$ y $$\mathbf{s}$$ son **ortogonales**.

Sea y sea .
Calcular la medida del angulo que forman
(a)

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Sea y sea . Calcular la medida del angulo que forman (a)